Lp (mellemrum)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 18. maj 2022; checks kræver 2 redigeringer .

$L^{p}$ (betegnelsen findes også ; den læses "el-pe"; også - Lebesgue-rum ) - disse er rum med målbare funktioner, således at deres th grad er integrerbar , hvor . $L_{p}$ $s$ $p\geqslant 1$

$L^{p}$ er den vigtigste klasse af Banach-rum . (udtales "el-two") er et klassisk eksempel på et Hilbert-rum . $L^{2}$

Bygning

Rum bruges til at konstruere rum . Rummet til et rum med mål og er det sæt af målbare funktioner, der er defineret på dette rum, således at: $L^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu)$ $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $1\leqslant p<\infty$

\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)<\infty

Som det følger af de elementære egenskaber ved Lebesgue-integralet og Minkowskis ulighed , er rummet lineært . ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu)$

På et lineært rum introduceres en seminorm : ${\mathcal {L}}^{p}(X,\;{\mathcal {F}}),\;\mu)$

\|f\|_{p}=\venstre(\int \limits _{X}|f(x)|^{p}\,\mu (dx)\right)^{\frac {1}{p }}

Ikke-negativiteten og homogeniteten følger direkte af Lebesgue-integralets egenskaber, og Minkowski- uligheden er trekantens ulighed for denne seminorm [1]

Dernæst introducerer vi ækvivalensrelationen : , hvis næsten overalt . Denne relation opdeler rummet i ikke-skærende ækvivalensklasser, og seminormerne for to repræsentanter for samme klasse falder sammen. På det konstruerede kvotientrum (det vil sige familien af ækvivalensklasser) kan man indføre en norm svarende til seminormen for enhver repræsentant for denne klasse. Per definition er alle aksiomer for en seminorm bevaret, og derudover, i kraft af ovenstående konstruktion, gælder positiv bestemthed også. ${\mathcal {L}}^{p}$ $f\sim g$ $f(x)=g(x)$ ${\mathcal {L}}^{p}$ ${\mathcal {L}}^{p}/\sim$

Et kvotientrum med en norm bygget på, og kaldes et mellemrum eller blot . $\left({\mathcal {L}}^{p}/\!\sim ,\;\|\cdot \|_{p}\right)$ $L^{p}(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )$ $L^{p}$

Oftest er denne konstruktion ment, men ikke eksplicit nævnt, og elementerne er ikke ækvivalensklasserne af funktioner, men selve funktionerne, defineret "op til mål nul". $L^{p}$

Når danner ikke et normeret rum, da trekantsuligheden ikke holder [2] , danner de dog metriske rum . Der er ingen ikke-trivielle lineære kontinuerlige operatorer i disse rum . $0<p<1$ $L^{p}$

Fuldstændighed

Normen på sammen med den lineære struktur genererer metrikken: $L^{p}$

d(f,\;g)=\|fg\|_{p}

og derfor er det muligt at definere konvergens på rum: en sekvens af funktioner kaldes konvergerende til en funktion, hvis: $\{f_{n}\}_{n=1}^{\infty }\subset L^{p}$ $f\in L^{p}$

\|f_{n}-f\|_{p}\til 0

kl .

n\til\infty

Per definition er et rum komplet, når en grundlæggende sekvens i konvergerer til et element i det samme rum. Således er et Banach-rum . $L^{p}$ $L^{p}$ $L^{p}$

Mellemrum L²_

I tilfældet er normen genereret af det indre produkt . Sammen med begrebet "længde" giver begrebet "vinkel" således også mening her, og derfor beslægtede begreber, såsom ortogonalitet , projektion . $p=2$

Det skalære produkt på rummet introduceres som følger: $L^{2}$

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{\overline {g(x)}}\,\mu (dx)

hvis de betragtede funktioner er komplekst værdsat, eller:

\langle f,\;g\rangle =\int \limits _{X}f(x)\,{g(x)}\,\mu (dx)

hvis de er rigtige. Så åbenbart:

\|f\|_{2}={\sqrt {\langle f,\;f\rangle ))

det vil sige, at normen genereres af det skalære produkt. I lyset af fuldstændigheden af enhver , følger det , at er Hilbert . $L^{p}$ $L^{2}$

Mellemrum L ∞

Rummet er konstrueret ud fra rummet af målbare funktioner, afgrænset næsten overalt, ved indbyrdes at identificere funktioner, der kun adskiller sig på et sæt af mål nul, og, per definition: $L^{\infty }$ ${\mathcal {L}}^{\infty }(X,\;{\mathcal {F)),\;\mu )$

\|f\|_{\infty }=\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f(x)|

, hvor er funktionens væsentlige supremum .

\mathrm {ess} \sup

$L^{\infty }$ er et Banach-rum .

Den metrik, der genereres af normen , kaldes ensartet . Konvergensen, der genereres af en sådan metrik, kaldes også: $\|\cdot \|_{\infty }$

f_{n}\til f

i , hvis kl .

L^{\infty }

\mathrm {ess} \sup \limits _{x\in X}|f_{n}(x)-f(x)|\to 0

n\til\infty

Egenskaber

Konvergensen af funktioner næsten overalt indebærer ikke konvergens i rummet . Lad for og for , . Så næsten overalt. Men . Det omvendte er heller ikke sandt. $L^{p}$ $f_{n}(x)=n^{1/p}$ $x\in(0,1/n]$ $f_{n}(x)=0$ $x\in(1/n,1]$ $f_{n}\in L^{p}$ $f_{n}\til 0$ $\|f_{n}\|_{p}^{p}=\int _{0}^{1}|f_{n}|^{p}d\mu =1$
Hvis for , så eksisterer der en efterfølger sådan, at næsten overalt. $\|f_{n}-f\|_{p}\til 0$ $n\til\infty$ $f_{n_{k}}$ $f_{n_{k}}\til f$
$L^{p}$ funktioner på den reelle linje kan tilnærmes ved glatte funktioner. Lad være en delmængde af uendeligt glatte funktioner. Så er overalt tæt i . $L_{C^{\infty }}^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ $L_{C^{\infty }}^{p}$ $L^{p}$
$L^{p}(\mathbb {R} ,\;{\mathcal {B}}(\mathbb {R} ),\;m)$ er adskillelig for . $p<\infty$
Hvis er et endeligt mål, for eksempel sandsynligheden for , og , så . Især , det vil sige, at en stokastisk variabel med et endeligt andet moment har et endeligt første moment. $\mu$ $1\leqslant p\leqslant q\leqslant \infty$ $L^{q}\undersæt L^{p}$ $L^{2}\delsæt L^{1}$

Dobbelte mellemrum

For rum dual til (mellemrum af lineære funktionaler på ) finder følgende egenskab sted: hvis , så er isomorf til ( ), hvor . Enhver lineær funktionel på har formen: $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{p}$ $L^{p}$ $1<p<\infty$ $\left(L^{p}\right)^{\star }$ $L^{q}$ $\left(L^{p}\right)^{\star }\cong L^{q}$ $1/p+1/q=1$ $L^{p}$

g(f)=\int \limits _{X}f(x)\,{\tilde {g}}(x)\,\mu (dx),

hvor . ${\tilde {g}}(x)\in L^{q}$

På grund af ligningens symmetri er selve rummet dobbelt (op til isomorfisme) til , og derfor: $1/p+1/q=1$ $L^{p}$ $L^{q}$

\left(L^{p}\right)^{\star \star}\cong L^{p}.

Dette resultat er også gældende for sagen , dvs. Dog, og i særdeleshed . $p=1$ $\left(L^{1}\right)^{\star }=L^{\infty }$ $\left(L^{\infty}\right)^{\star }\ikke \cong L^{1}$ $\left(L^{1}\right)^{\star \star }\ikke \cong L^{1}$

Mellemrum ℓ p

Lad , hvor være et tælleligt mål på , dvs. Så hvis , så er rummet en familie af sekvenser af formen , sådan at: $(X,\;{\mathcal {F)],\;\mu )=\venstre(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $m$ $\mathbb {N}$ $m(\{n\})=1,\;\forall n\in \mathbb {N}$ $p<\infty$ $\ell ^{p}\venstre(\mathbb {N} ,\;2^{\mathbb {N} },\;m\right)$ $\{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }$

\sum _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}<\infty

Følgelig er normen på dette rum givet af

\|x\|_{p}=\venstre(\sum \limits _{n=1}^{\infty }|x_{n}|^{p}\right)^{\frac {1}{p }}

Det resulterende normerede rum er angivet med . $\ell ^{p}$

Hvis , så betragtes rummet af afgrænsede sekvenser med normen: $p=\infty$

\|x\|_{\infty }=\sup \limits _{n\i \mathbb {N} }|x_{n}|

Det resulterende rum kaldes , det er et eksempel på et ikke- adskilleligt rum. $\ell ^{\infty }$

Som i det generelle tilfælde får vi ved at indstille et Hilbert-rum, hvis norm er genereret af det skalære produkt: $p=2$ $\ell ^{2}$

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{\overline {y_{n))}

hvis sekvenserne er komplekst værdifulde, og:

\langle x,\;y\rangle =\sum _{n=1}^{\infty }x_{n}{y_{n)),

hvis de er rigtige.

Rummet konjugerer til , hvor er isomorf til , . For . Dog . $\ell ^{p}$ $1<p<\infty$ $\ell ^{q}$ $1/p+1/q=1$ $p=1:\left(\ell ^{1}\right)^{\star }=\ell ^{\infty }$ $\left(\ell ^{\infty}\right)^{\star }\ikke \cong \ell ^{1}$

Noter

↑ Seminormen introduceret på denne måde er ikke en norm , for hvis næsten overalt , så , som modsiger kravene til normen. For at omdanne et rum med en seminorm til et rum med en norm, er det nødvendigt at "identificere" funktioner, der kun adskiller sig fra hinanden på et sæt af mål nul. $f(x)=0$ $\|f\|_{p}=0$
↑ Mere præcist gælder den omvendte trekantsulighed - når : $0<p<1$ $\forall f,g\in L_{p}(\Omega )\colon \,\left(\int \limits _{\Omega}|f(x)+g(x)|^{p}dx\right) ^{\frac {1}{p}}\geqslant \left(\int \limits _{\Omega }|f(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p}} +\venstre(\int \limits _{\Omega }|g(x)|^{p}dx\right)^{\frac {1}{p))$

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Elementer i teorien om funktioner og funktionel analyse. - udg. fjerde, revideret. — M .: Nauka , 1976 . — 544 s.
Trenogin V. A. Funktionel analyse. — M .: Nauka , 1980 . — 495 s.