K(G,n) mellemrum

$K(G,n)$ rum (eller Eilenberg-MacLane rum) er topologiske rum med en unik ikke-triviel homotopigruppe i dimension . $G$ $n$

Opkaldt efter Samuel Eilenberg og Saunders McLane , som overvejede disse rum i slutningen af 1940'erne.

Definition

Lad være en gruppe og vær et positivt heltal. Et stiforbundet topologisk rum kaldes et rum, hvis det har en -. homotopigruppe , der er isomorf til , og alle andre homotopigrupper er trivielle. $G$ $n$ $x$ $K(G,n)$ $n$ $\pi _{n}(X)$ $G$ $x$

Hvis , så må vi antage, at det er kommutativt. $n>1$ $G$

Eksistens og unikhed

Givet og , kan et eksempelrum bygges i trin, som et CW-kompleks , begyndende med en masse dimensionelle kugler , en for hver generator i gruppen , og derefter tilføje celler (muligvis et uendeligt antal) af højere dimensioner for at dræbe alle unødvendige homotopigrupper, startende med dimension . $G$ $n$ $K(G,n)$ $n$ $G$ $n+1$

Eksempler

Cirklen er rummet. $\mathbb {S} ^{1}$ $K(\mathbb {Z} ,1)$

Et uendeligt dimensionelt reelt projektivt rum er et rum. ${\displaystyle \mathbb {RP} ^{\infty ))$ $K(\mathbb {Z} _{2},1)$

Summen af en buket af k cirkler er for en fri gruppe med k generatorer. ${\displaystyle \textstyle \bigvee _{i=1}^{k}\mathbb {S} ^{1))$ $K(G,1)$ $G$

Komplementet til enhver knude i en tredimensionel kugle er et rum; dette følger af knudernes asfericitet - Christos Papakiriakopoulos ' sætning bevist af ham i 1957. ${\displaystyle \mathbb {S} ^{3))$ $K(G,1)$

Enhver kompakt forbundet manifold M med ikke-positiv sektionskrumning er , hvor er den grundlæggende gruppe af M. $K(\Gamma ,1)$ $\Gamma =\pi _{1}(M)$
- Det samme gælder for lokalt CAT(0)-rum .

Et uendeligt dimensionelt komplekst projektivt rum er et rum. Dens kohomologiring er en fri ring af polynomier med en generator i dimension 2. Denne generator kan repræsenteres i de Rham-kohomologien ved Fubini-Study 2-formen . $\mathbb {CP} ^{\infty }$ $K(\mathbb {Z} ,2)$ $\mathbb {Z} [x]$ $x$

Egenskaber

$K(G,n)$ rummet er unikt op til svag homotopi-ækvivalens .

Produktet af og rum er et rum. $K(G,n)$ $K(H,n)$ $K(G\ gange H,n)$

Antag, at det er et mellemrum og er et vilkårligt CW-kompleks. Så for sættet af homotopi kortlægningsklasser eksisterer der en naturlig bijektion med kohomologigruppe . Denne udtalelse er analog med Yonedas lemma i kategoriteori . $x$ $K(G,n)$ $K$ $K\to X$ $H^{n}(K,G)$

Rummet af løkkerne i rummets rum er rummet. $K(G,n)$ $K(G,n-1)$

Se også

Et asfærisk rum er et K(G,1) rum.
Homologisk sfære

Litteratur

Fuchs D. B., Fomenko A. T., Gutenmakher V. L. Homotopi-topologi. - M. : MGU, 1969.

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1945), Relations between homology and homotopy groups of spaces , Annals of Mathematics , (Second Series) bind 46 (3): 480–509 , DOI 10.2307/1969165

Eilenberg, Samuel & MacLane, Saunders (1950), Relationer mellem homologi og homotopigrupper af rum. II , Annals of Mathematics , (Anden serie) bind 51 (3): 514–533 , DOI 10.2307/1969365

Morita, Kiiti. Čech kohomologi og dækkende dimension for topologiske rum (engelsk) // Fundamenta Mathematicae : journal. - 1975. - Bd. 87 . - S. 31-52 . - doi : 10.4064/fm-87-1-31-52 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (engelsk) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1957. - Bd. 43 , nr. 1 . - S. 169-172 . - doi : 10.1073/pnas.43.1.169 . — PMID 16589993 .

Papakyriakopoulos, CD On Dehn's Lemma and the Asphericity of Knots (engelsk) // Ann. Matematik. : journal. - 1957. - Bd. 66 , nr. 1 . - S. 1-26 . - doi : 10.2307/1970113 .