Alexander geometri

Alexanders geometri er en ejendommelig udvikling af den aksiomatiske tilgang i moderne geometri. Tanken er at erstatte en vis lighed i det euklidiske rums aksiomatik med en ulighed.

Historie

Den første syntetiske definition af øvre og nedre krumningsbegrænsninger blev givet af Abraham Wald i hans bachelorarbejde skrevet under tilsyn af Carl Menger . [1] Dette værk blev glemt indtil 80'erne.

Lignende definitioner blev genopdaget af Aleksandr Danilovich Aleksandrov . [2] [3] Han gav også de første betydningsfulde anvendelser af denne teori, især til problemerne med indlejring og bøjning af overflader.

En nært beslægtet definition af metriske rum af ikke-positiv krumning blev givet næsten samtidigt af Herbert Busemann . [fire]

Alexandrovs og hans studerendes forskning blev udført i to hovedretninger:

Todimensionelle rum med krumning begrænset nedefra;
Rum af vilkårlig dimension med krumning afgrænset ovenfra.
- Hyperbolicitet i Gromovs forstand er en forlængelse af denne teori for diskrete rum. Det har betydelige anvendelser i gruppeteori .

Rum af vilkårlig dimension med krumning afgrænset nedenfor begyndte først at blive undersøgt i slutningen af 1990'erne. Drivkraften til disse undersøgelser var Gromovs kompakthedsteorem . Det afgørende værk er skrevet af Yuri Dmitrievich Burago , Mikhail Leonidovich Gromov og Grigory Yakovlevich Perelman . [5]

Grundlæggende definitioner

En sammenligningstrekant for en tredobbelt af punkter i et metrisk rum er en trekant i det euklidiske plan med samme sidelængde; det er $xyz$ $x$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $\mathbb {E} ^{2}$

{\begin{aligned}|{\tilde {x}}-{\tilde {y}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|xy|_{X},\\ |{\tilde {y}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|yz|_{X},\\|{\tilde {z}}- {\tilde {x}}|_{\mathbb {E} ^{2}}&=|zx|_{X}.\end{aligned}}

Vinklen ved toppunktet i sammenligningstrekanten kaldes sammenligningsvinklen for triplen og betegnes . ${\tilde x}$ $[{\tilde {x}}{\tilde {y}}{\tilde {z}}]$ $xyz$ ${\tilde {\measuredangle }}(x\,_{z}^{y})$

I Aleksandrov geometri betragtes komplette metriske rum med iboende metriske med en af følgende to uligheder for 6 afstande mellem 4 vilkårlige punkter. $x$

Den første ulighed er som følger: for vilkårlige 4 punkter , overvej et par sammenligningstrekanter , og derefter for et vilkårligt punkt , uligheden $x,y,p,q\in X$ $[{\tilde {x}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ $[{\tilde {y}}{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$ ${\tilde {z}}\in [{\tilde {p}}{\tilde {q}}]$

|xy|_{X}\leq |{\tilde {x}}-{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}+|{\tilde {y}} -{\tilde {z}}|_{\mathbb {E} ^{2}}.

I dette tilfælde siges rummet at tilfredsstille -uligheden. Et komplet rum, der opfylder -uligheden, kaldes et Hadamard-rum . I tilfælde af lokal opfyldelse af denne ulighed siges rummet at have ikke -positiv krumning i Alexandrov-forstand . $\mathrm {CAT} [0]$ $\mathrm {CAT} [0]$

Den anden ulighed er som følger: for vilkårlige 4 punkter , uligheden $p,x,y,z\in X$

{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{y}^{x})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{z}^{y})+{\tilde {\measuredangle }}(p\,_{x}^{z})\leq 2\cdot \pi .

I dette tilfælde siges rummet at tilfredsstille -uligheden, eller rummet siges at have ikke-negativ krumning i Alexandrovs forstand . $\mathrm {CBB} [0]$

Generelle restriktioner for krumning

I stedet for det euklidiske plan kan du tage plads - modelkrumningsplanet . Det er $\mathbb {M} [k]$ $k$

$\mathbb {M} [0]$ er det euklidiske plan ,
$\mathbb {M} [k]$ når der er en kugle med radius , $k>0$ $1/{\sqrt {k))$
$\mathbb {M} [k]$ ved er Lobachevsky - krumningsplanet . $k<0$ $k$

Så bliver ovenstående definitioner til definitioner af CAT[k] og CBB [k] rum og rum med krumning og i Alexandrov-forstand . $\leq k$ $\geq k$ $k>0$ $(xyz)$

|xy|_{X}+|yz|_{X}+|zx|_{X}<2\cdot \pi /{\sqrt {k))

Grundsætninger

Alexandrovs lemma er et vigtigt teknisk udsagn om sammenligningsvinkler

Reshetnyaks limsætning — gør det muligt at konstruere CAT(k) mellemrum ved at lime CAT(k) mellemrum over konvekse sæt.

Reshetnyak-majoriseringsteoremet giver en praktisk ækvivalent definition af CAT(k)-rum.

Globaliseringssætningen for CAT(k)-rum er en generalisering af Hadamard-Cartan-sætningen .

Globaliseringssætningen for CBB(k)-rum er en generalisering af Toponogovs sammenligningssætning .

Noter

↑ Wald, A. Begründung eiiner Koordinatenlosen Differentialgeometrie der Flächen (tysk) // Ergebnisse eines mathematischen Kolloquium. - 1935. - Bd. 6 . - S. 24-46 .
↑ Aleksandrov A. D. Indre geometri af konvekse overflader. - Gostekhizdat, 1948.
↑ Alexandrov A. D. En sætning om trekanter i et metrisk rum og nogle af dets anvendelser // Tr. MIAN USSR. - 1951. - T. 38 . - S. 5-23 . (Russisk)
↑ Busemann, Herbert Rum med ikke-positiv krumning. ActaMath. 80, (1948). 259-310.
↑ Yu. D. Burago, M. L. Gromov, G. Ya. Perelman. Aleksandrov-rum med krumninger afgrænset nedenfor // Uspekhi Mat. - 1992. - T. 47 , nr. 2 (284) . - S. 3-51 . (Russisk)

Litteratur

Burago D.Yu., Burago Yu.D., Ivanov S.V. Metrisk geometri kursus. - 2004. - ISBN 5-93972-300-4 .
Foredrag 5, Alexandrovs geometri
Sergei Ivanov . Metrisk geometri og Alexandrov-rum . Lektorium ( 10.02.11 ). (ubestemt)
Sergei Ivanov . Geometri af Alexandrov-rum . Lektorium (04.07.17). (ubestemt)
Anton Petrunin, Alexander geometri videoforelæsninger
Alexander, Stephanie; Kapovitch, Vitali & Petrunin, Anton, Invitation to Alexandrov geometri: CAT[0] spaces, arΧiv : 1701.03483 [math.DG].