H-kobordisme

h -kobordisme er en bordisme , hvorer en kompakt differentierbar manifold , hvis grænseer foreningen af usammenhængende lukkede manifolderog, som er deformation trækker sig tilbage . Det enkleste eksempel er den trivielle -kobordisme $(W;M,M')$ $W$ $\delvis W$ $M$ $M'$ $W$ $h$

(M\ gange [0,1]; M\ gange 0, M\ gange 1).

Manifolder kaldes -kobordant , hvis der eksisterer en -kobordisme , der forbinder dem. $M$ $M'$ $h$ $h$ $(W;M,M')$

-kobordisme -sætningen $h$ giver betingelser for, hvornår en -kobordisme er triviel. Sætningen blev først bevist af Stephen Smale , som modtog Fields-prisen for resultater relateret til denne sætning. Ved hjælp af teoremet beviste han den generaliserede Poincaré-formodning for dimensioner . $h$ $\geq 5$

Egenskaber

(Sætning om -kobordisme) Hvis er -kobordisme, og og er simpelthen forbundet glatte (eller stykkevis lineære) manifolds og , så er det diffeomorf ( stykkevis lineært isomorf ) til triviel -kobordisme. $h$ $(W;M,M')$ $h$ $M$ $M'$ $\operatørnavn {dim}W\geq 6$ $W$ $h$
- Især er den diffeomorf . $M$ $M'$

Variationer og generaliseringer

Hvis vi fjerner tilstanden af simpelt forbundne kobordante manifolder og , så er hindringen for trivialiteten af kobordisme mellem dem Whitehead-torsionen [1] . Kobordisme -sætningen siger, at en kobordisme mellem to manifolder er triviel, hvis og kun hvis Whitehead-torsionen forsvinder. $M$ $M'$ $s$

Noter

↑ Whitehead torsion // Wikipedia . — 2020-04-28.

Litteratur

Milnor, J., The -cobordism theorem, $h$ Moskva, 1969;
Smale S., Generaliseret Poincares formodning i dimensioner større end fire, The Ann. af Math., 2. Ser., bind 74, No. 2. (sep., 1961), s. 391-406.