Bevis ved modsigelse

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 17. marts 2021; checks kræver 65 redigeringer .

Bevis "ved modsigelse" ( lat. contradictio in contrarium ), eller apagogisk indirekte bevis [1] , er en form for bevis, hvor "beviset" af en bestemt dom ( bevistese ) udføres gennem tilbagevisningen af negationen af denne dom - antitese [2] . Denne bevismetode er baseret på sandheden af loven om dobbelt negation i klassisk logik .

Denne metode er meget vigtig for matematik , hvor der er mange påstande, som ikke kan bevises på anden vis [3] .

Bevisskema

Et skema med modsigelse er et skema:

{\dfrac {\begin{matrix}\left[{\mathcal {\neg A}}\right]&&\left[{\mathcal {\neg A}}\right]\\{\mathcal {B }}&&{\mathcal {\neg B}}\end{matrix}}{\mathcal {A}}}}.

Det formaliserer bevismetoden ved modsigelse.

Beviset for påstanden udføres som følger. Først antages det, at udsagnet er falsk, og derefter bevises det, at under en sådan antagelse ville en eller anden udsagn være sand , hvilket åbenlyst er falsk. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal B}$

Det følger af definitionen af implikation , at hvis falsk, så er formlen sand, hvis og kun hvis falsk, derfor er udsagnet sandt. ${\mathcal B}$ ${\mathcal {\neg A\Højrepil B))$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$

Den resulterende modsigelse viser, at den oprindelige antagelse var forkert, og derfor er udsagnet sandt , hvilket ifølge loven om dobbelt negation svarer til udsagnet . ${\mathcal {\neg \neg A))$ ${\mathcal {A}}$

I intuitionistisk logik accepteres bevis ved modsigelse ikke, ligesom loven om den udelukkede midte ikke virker [1] .

Bemærkning . Denne ordning ligner en anden - til ordningen med bevis ved reduktion til absurditet . Som følge heraf er de ofte forvirrede. På trods af nogle ligheder har de dog en anden form. Desuden adskiller de sig ikke kun i form, men også i essens, og denne forskel er af grundlæggende karakter.

Sammenligning af bevismetoder fra modsigelse og reduktion til absurditet

Ideen om behovet for at skelne mellem disse metoder i undervisningen i matematik tilhører Felix Aleksandrovich Kabakov (1927-2008) , som satte denne idé i praksis i fyrre års arbejde på Det Matematiske Fakultet ved Moskva Stats Pædagogiske Universitet .

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Lad os gå videre til at sammenligne de tilsvarende bevismetoder.

Metoden med bevis ved modsigelse anses for at være en velkendt bevismetode, men ofte bruges udtrykket "bevis ved modsigelse" i forskellige betydninger og i forhold til forskellige bevismetoder. Oftest forveksles metoden til bevis ved modsigelse med metoden til bevis ved reduktion til absurditet.

Bogstaverne og vil betegne vilkårlige sætninger, og bogstavet betegner vilkårlige endelige sæt af sætninger. Vi vil bruge notationen til at angive, at forslaget er begrundet (bevist) ud fra forslagene eller logisk følger af . Forholdet mellem sæt af sætninger og sætninger vil blive kaldt relationen af logisk konsekvens . ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\text{D))$ ${\text{D}}\Rightarrow {\mathcal {A}}$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ $\Højre pil$

Beviset ved modsigelse er som følger. Lad det være påkrævet at bevise en påstand baseret på nogle påstande (disse kan være tidligere beviste sætninger, aksiomer eller antagelser). Vi antager , at det ikke er sandt, dvs. vi indrømmer , og ved at ræsonnere, baseret på og , udleder vi en modsigelse, dvs. påstanden og dens negation . Derefter konkluderer vi, at antagelsen er falsk, og derfor er påstanden sand . Vores ræsonnement kan beskrives ved hjælp af følgende uformelle ræsonnementskema: ${\mathcal {A}}$ ${\text{D))$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\text{D))$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {\neg B))$ ${\mathcal {A}}$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ og G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\text{D))\Rightarrow {\mathcal {A))))

Det er denne ordning, der bør kaldes modsigelsesbevisordningen .

Situationen ændrer sig, når det er nødvendigt at tilbagevise sætningen , med andre ord, når sætningen, der skal bevises, har formen (ikke ), dvs. er en negativ sætning. ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$

For eksempel ser sætningen sådan ud: "Der er intet rationelt tal, hvis kvadrat er 2." Det bevises ved at udlede en modsigelse fra antagelsen om, at der eksisterer et rationelt tal, hvis kvadrat er 2.

Så for at bevise den negative udsagn om , antager vi at , og udleder heraf en vis modsigelse: og . Et uformelt skema, der beskriver et sådant ræsonnement, ser sådan ud: ${\mathcal {\neg A))$ ${\mathcal {A}}$ ${\mathcal {B}}$ ${\mathcal {\neg B))$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ og G)),{\mathcal {A}}\Rightarrow { \mathcal {\neg B))}{{\tekst{D))\Rightarrow {\mathcal {\neg A))))

Dette uformelle ræsonnementssystem kaldes normalt skemaet for bevis ved reduktion til absurditet eller reduktion til absurditet (fra latin reductio ad absurdum).

Desværre skelner de normalt i undervisningspraksis ikke mellem disse to skemaer, to bevismetoder, som oftest kalder dem begge for bevis ved modsigelse .

Lad os dvæle ved grundene til, at disse ordninger stadig bør skelnes.

For det første er det indlysende, at disse skemaer adskiller sig rent grafisk, hvilket betyder, at ræsonnementet efter disse skemaer adskiller sig i form. Forskelle af samme karakter, det vil sige i det mindste i form, eksisterer mellem sætninger og (eller mellem sætninger og ). Selvom vi på de klassiske holdninger mener, at disse udsagn er ækvivalente, er kendsgerningen om forskellen i form stadig indlysende. ${\mathcal {A}}$ ${\displaystyle {\mathcal {\neg {\neg A))))$ ${\mathcal {A\rightarrow B}}$ ${\mathcal {\neg A))\vee {\mathcal {B))$

En sådan skelnen kan dog forekomme for nogen utilstrækkelig, ikke overbevisende til at starte hele denne samtale. Naturligvis opstår spørgsmål: er disse ordninger ækvivalente? hvad er forskellen mellem dem i praksis med matematiske beviser; Er denne forskel kun i form eller også i essens?

For at besvare det første spørgsmål: "Er ordningerne contradictio in contrarium og reductio ad absurdum ækvivalente?" muligt på et uformelt niveau, uden at gå over på vejen til at opbygge et formelt logisk system. Sammenhængen mellem disse ordninger etableres ved følgende erklæring.

❗ GODKENDELSE . Bevisskema ved modsigelse

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ og G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\tekst{D))\Rightarrow {\mathcal {A))))

svarer til kombinationen af to systemer:

bevis ved at reducere til absurditet

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {A}}\Rightarrow {\mathcal {B}}{\text{ og G)),{\mathcal {A}}\Rightarrow { \mathcal {\neg B))}{{\tekst{D))\Rightarrow {\mathcal {\neg A))))

og fjernelse af dobbelt negation

{\mathcal {\neg {\neg {A))))\Højrepil {\mathcal {A)).

Beviset for dette udsagn kan findes i bogen [4] .

Når vi beviser ved modsigelse, bruger vi stærkere logiske midler, end når vi beviser ved at reducere til absurditet. Dette skyldes, at bevis ved modsigelse i det væsentlige er baseret på dobbeltnegationsreglen, mens bevis ved reduktion til absurditet ikke gør det. Netop på grund af denne omstændighed er forskellen mellem ordningerne contradictio in contrarium og reductio ad absurdum en forskel ikke kun i form, men også i det væsentlige. Desuden er denne sondring tæt forbundet med visse problemer i matematikkens grundlag.

Faktum er, at sådanne logiske love som loven om den udelukkede midterste , loven om fjernelse af dobbelt negation , ordningen ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ ${\mathcal {\neg \neg A\upset A))$

{\dfrac {{\text{D)),{\mathcal {\neg A))\Rightarrow {\mathcal {B)){\text{ og G)),{\mathcal {\neg A} }\Rightarrow {\mathcal {\neg B))}{{\tekst{D))\Rightarrow {\mathcal {A))))

beviser ved modsigelse fører til ineffektive konstruktioner og beviser i matematik. Først og fremmest refererer dette til beviserne for de såkaldte eksistenssætninger , dvs. sætninger af formen: "Der er sådan, at ": , hvor er en egenskab , der er opfyldt for , og løber gennem et bestemt sæt af kendte objekter ( tal, formler osv.). $x$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$ ${\mathcal P}$ $x$ $x$

Et effektivt bevis for formsætningener konstruktionen af et objekt(eller en metode til at konstruere dette objekt) og beviset for, at dette objekt faktisk har den nødvendige egenskab. Et eksistenssætningsbevis, der ikke opfylder disse betingelser, anses for at være ineffektivt . $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal P}$

Et typisk ineffektivt bevis for eksistenssætningen er bevis ved modsigelse. Faktisk, lad det være påkrævet at bevise en erklæring af formen - "der er et objekt , der har egenskaben ". Lad os antage det . Ved at ræsonnere får vi en vis modsigelse: og . Herfra konkluderer vi i kraft af ordningen reductio ad absurdum , at antagelsen er falsk, dvs. Ved at fjerne den dobbelte negation opnår vi og betragter beviset som fuldstændigt. Et sådant bevis ender dog ikke med konstruktionen af mindst én genstand med den påkrævede egenskab; det bringer os på ingen måde tættere på at konstruere et eksempel sådan , at , dvs. er et ineffektivt bevis. $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal P}$ ${\displaystyle \neg {\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ ${\mathcal B}$ ${\mathcal {\neg B))$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $x$ ${\mathcal {P}}\left(x\right)$

Eksempler på beviser af denne art er beviser for sætninger: sætninger om afgrænsningen af en funktion kontinuert på et interval (det vil sige om eksistensen af øvre og nedre grænser for en funktion kontinuert på et interval); sætninger om eksistensen af de største og mindste værdier af en funktion kontinuert på et interval. Det traditionelle bevis for disse sætninger ved modsigelse indeholder ikke en konstruktion, der gør det muligt at konstruere det objekt, hvis eksistens diskuteres i sætningen.

Ineffektive beviser for eksistenssætninger anerkendes ikke af alle matematikere. For matematikere, der står på traditionelle klassiske positioner, er det karakteristisk uden nogen begrænsninger at anerkende loven om den udelukkede midterste og loven om fjernelse af dobbelt negation . De negligerer forskellene mellem udsagn og . Matematikere, der ikke holder sig til klassiske synspunkter ( intuitionister og konstruktivister ), benægter disse loves universalitet. Forskelle mellem udsagn og sådanne matematikere anerkendes som meget betydningsfulde, i betragtning af at udsagnet generelt set er svagere end . Bevis ved modsigelse fra deres synspunkt er også uacceptabelt, da det er baseret på princippet om at fjerne dobbelt negation. ${\mathcal {A\vee \neg A}}$ ${\mathcal {\neg \neg A\upset A))$ $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\neg {\neg {\left(\exists {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)))$ $\left(\eksisterer {x}\right){\mathcal {P}}\left(x\right)$

Forskellen mellem ordningerne contradictio in contrarium og reductio ad absurdum er således af metodisk karakter, hvilket påvirker problemet med forskellig forståelse af udsagn om eksistens i matematik såvel som andre problemer med matematikkens grundlag relateret til disse .

Eksempler

I matematik

Bevis for irrationaliteten af et tal .

{\sqrt {2}}

Antag det modsatte: tallet er rationelt , det vil sige, det er repræsenteret som en irreducerbar brøk , hvor er et heltal og er et naturligt tal . Lad os kvadrere den formodede lighed: ${\sqrt {2}}$ ${\frac {m}{n}}$ $m$ $n$

{\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}

\Højre pil

2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}

, hvorfra .

m^{2}=2n^{2}

Heraf følger, at selv , deraf selv og ; derfor er deleligt med 4, og dermed også lige. Den resulterende erklæring modsiger brøkens irreducerbarhed . Derfor var den oprindelige antagelse forkert og er et irrationelt tal . $m^{2}$ $m$ $m^{2}$ $n^{2}$ $n$ ${\frac {m}{n}}$ ${\sqrt {2}}$

I hverdagen

Lægen, der forklarer patienten, at han ikke er syg af influenza, kan bruge følgende ræsonnement: "Hvis du virkelig var syg af influenza, så ville du have feber, tilstoppet næse osv. Men det har du ikke har alt dette, så du ikke og influenza" [3] .

Litteratur

Timofeeva I. L. Matematisk logik. Forelæsningsforløb: Proc. tilskud til universitetsstuderende. - 2. udg., revideret. - M. : KDU, 2007. - 304 s. — ISBN 978-5-98227-307-9 .

Se også

Reducerer til det absurde (apagoge)
Uendelig nedstigningsmetode

Noter

↑ 1 2 Indirekte beviser // Filosofi: Encyclopedic Dictionary. — M.: Gardariki. Redigeret af A. A. Ivin . 2004.
↑ Bevis ved modsigelse // Filosofi: Encyklopædisk ordbog. — M.: Gardariki. Redigeret af A. A. Ivin . 2004.
↑ 1 2 Bevis ved modsigelse // Great Soviet Encyclopedia : [i 30 bind] / kap. udg. A. M. Prokhorov . - 3. udg. - M . : Sovjetisk encyklopædi, 1969-1978.
↑ Timofeeva I. L. Nogle bemærkninger om metoden til bevis ved modsigelse // Matematik i skolen - 1994, nr. 3. S. 36-38.