4-tensor

4-tensorer , fire -tensorer - en klasse af matematiske objekter, der bruges til at beskrive nogle fysiske felter i relativistisk fysik , en tensor defineret på et firedimensionelt rum-tid [1] .

Bemærk: I litteraturen kaldes 4-tensorer ofte blot tensorer, og dimensionen og arten af det vektorrum (manifold), hvorpå de er defineret i dette tilfælde, er specificeret eksplicit eller er indlysende fra konteksten.

Generelt er en 4-tensor et objekt med et sæt indekser:

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{j_{1}j_{2}\ldots j_{m)),

desuden tager hvert af indeksene fire værdier (normalt fra nul til tre eller fra en til fire, det vil sige osv.). $i_{1}=0,1,2,3,i_{2}=0,1,2,3$

Når referencesystemet ændres, transformeres komponenterne i dette objekt som følger [2] :

A_{i_{1}i_{2}\ldots i_{n}}^{\prime j_{1}j_{2}\ldots j_{m}}=\beta _{j_{1}k_{ 1}}\beta _{j_{2}k_{2}}\ldots \beta _{j_{m}k_{m}}\alpha _{i_{1}l_{1}}\alpha _{i_{ 2}l_{2}}\ldots \alpha _{i_{n}l_{n}}A_{l_{1}l_{2}\ldots l_{n}}^{k_{1}k_{2}\ ldots k_{m}}

hvor er rotationsmatricen i firedimensional rumtid (matricen for Lorentz-gruppen ), og er dens inverse. ${\displaystyle \alpha _{ij))$ ${\displaystyle \beta _{ij))$

Øvre indeks kaldes kontravariante, og lavere indeks kaldes kovariante. Det samlede antal indekser sætter rangen af tensoren. 4-vektoren er en 4-tensor af første rang.

Normalt i fysik betragtes tensorer af samme art med forskellige antal kovariante og kontravariante indekser for forskellige repræsentationer af det samme objekt. Sænkning eller hævning af indekset udføres ved hjælp af den metriske tensor , for eksempel for en 4-tensor af anden rang ${\hat {g))$

{\displaystyle A^{ij}=g^{jk}A_{k}^{i))

Den ydre produktalgebra giver os også mulighed for at introducere relaterede dobbelttensorer til antisymmetriske tensorer .

Fordele ved 4D-notation

Relativitetsligningerne , elektrodynamik og mange moderne fundamentale teorier, der inkluderer dem, er særligt praktiske at skrive ved hjælp af 4-vektorer og 4-tensorer. Den største fordel ved denne notation er, at ligningerne i denne form automatisk er Lorentz-invariante , det vil sige, at de ikke ændres, når de bevæger sig fra et inertialkoordinatsystem til et andet.

Eksempler

4-tensorer i generel relativitetsteori

metrisk tensor (den spiller også en vis teknisk rolle i fravær af gravitationsfelter, det vil sige, at den ofte bruges uden for den generelle relativitetsteori , men i dette tilfælde har den - som regel - en meget særlig form for den Lorentzianske metrisk ).
krumning tensor
Ricci tensor
energi-momentum tensor (ganske bredt anvendelig uden for den generelle relativitetsteori ).

4-tensor af det elektromagnetiske felt

Den tilsvarende 4-tensor findes også til at beskrive det elektromagnetiske felt . Dette er en 4-tensor af anden rang. Når du bruger det, har de grundlæggende ligninger for det elektromagnetiske felt: Maxwells ligning og bevægelsesligningen for en ladet partikel i et felt en særlig enkel og elegant form.

Definition i form af 4-potentiale

4-tensoren er defineret ud fra derivaterne af 4-potentialet [3] :

F_{ik}={\frac {\partial A_{k}}{\partial x^{i}}}-{\frac {\partial A_{i}}{\partial x^{k}} }

. Definition i form af 3D-vektorer

4-tensoren er defineret i form af de sædvanlige tredimensionelle sammensatte spændingsvektorer som følger:

F_{ik}=\left({\begin{matrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y }\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right)

F^{ik}=\left({\begin{matrix}0&-E_{x}/c&-E_{y}/c&-E_{z}/c\\E_{x}/c&0&-B_ {z}&B_{y}\\E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{matrix}}\right )

Den første form er den kovariante tensor og den anden form er den kontravariante tensor.

Lorentz kraft

Skrevet i 4-vektor form har bevægelsesligningen for en ladet partikel i et elektromagnetisk felt formen

mc{\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {q}{c}}F^{ik}u_{k}

hvor er 4-hastigheden , q er partiklens elektriske ladning , c er lysets hastighed , og m er massen . Den højre side af denne ligning er Lorentz-kraften . ${\displaystyle u^{k))$

Se også

Noter

↑ referencesystemrotationer, hvori omfatter både almindelige rotationer i tredimensionelt rum og overgange mellem referencesystemer, der bevæger sig med forskellige hastigheder i forhold til hinanden ( Lorentz-transformationer ).
↑ Her er, som det er sædvanligt i relativitetsteorien, summens tegn udeladt - gentagelsen af indekset under og ovenfor betyder summering; se Einsteins summeringskonvention .
↑ Formlerne på denne side er skrevet i SGSG -systemet

Eksterne links

Kapitel 8 Relativistisk dynamik 8.8. Tensorers egenskaber og vinkelmomentum af en partikel (utilgængelig link- historie ) . Hentet: 10. juni 2009. (ubestemt) (utilgængeligt link)
FOREDRAG 20 Firedimensionelle vektorer og tensorer af II rang. (utilgængeligt link) . Videnskabeligt og uddannelsesmæssigt center for Fysioteknisk Institut opkaldt efter A.F. Ioffe (22. februar 2002). Hentet 10. juni 2009. Arkiveret fra originalen 29. november 2004. (ubestemt)