4-vektor

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. september 2021; checks kræver 7 redigeringer .

En 4-vektor ( fire-vektor , fire -vektor ) er en vektor i det firedimensionale Minkowski-rum , og i et mere generelt tilfælde en vektor i et buet firedimensionalt rum-tid. Komponenterne i enhver 4-vektor, der beskriver et fysisk system, når referencesystemet flyttes eller roteres , såvel som når det flyttes fra et referencesystem til et andet, transformeres i henhold til den samme lov specificeret ved transformationen af referencesystemet. 4-vektoren har en tidskomponent og tre rumlige. De rumlige komponenter udgør en almindelig tredimensionel rumlig vektor , hvis komponenter kan udtrykkes i kartesiske, cylindriske, sfæriske og andre rumlige koordinater.

I moderne notation svarer tidskomponenten sædvanligvis til indekset 0 (det vil sige, den betragtes som nulkomponenten), den rumlige komponent - 1, 2, 3 (sammenfaldende med x, y, z ; normalt som standard, og hvis muligt, disse er almindelige rektangulære kartesiske koordinater ). I den gamle litteratur bruges ofte en konvention (der går tilbage til Minkowski ) , ifølge hvilken tidskomponenten ikke blev betragtet som nul, men den fjerde.
Nogle gange er det praktisk at tilskrive en rent imaginær karakter til tidskomponenten i en 4-vektor (multiple altid realtidskomponenten med den imaginære enhed ). Denne repræsentation af 4-vektorer var historisk set den første, der blev introduceret og bruges nogle gange også i moderne litteratur.
4-vektorer (deres komponentrepræsentation) kan skrives i kontravariante og (eller) kovariante former (se nedenfor), som ikke altid er sammenfaldende, og i tilfælde af en reel repræsentation (uden en imaginær enhed) adskiller de sig altid fra hinanden , selvom denne sondring i de fleste tilfælde er underlagt en meget enkel regel.

Eksempler på 4-vektorer

Her og nedenfor er signaturen brugt . $(+,~-,~-,~-)$

4-bevægelse: $dx^{i}=(cdt,~dx,~dy,~dz),$
4-trins: $u^{i}={\frac {dx^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {dx^{i}}{d\tau }} ,$ hvor er den " korrekte tid ", lig med intervallet , divideret med lysets hastighed , målt langs verdenslinjen . Geometrisk er 4-hastigheden enhedsvektoren, der tangerer partiklens verdenslinje. $\tau$ $\tau ={\frac {1}{c}}\int {ds}$
4-acceleration : $a^{i}={\frac {du^{i}}{ds}}={\frac {1}{c}}{\frac {du^{i}}{d\tau }} ,$ hvor - se ovenfor. Geometrisk er 4-accelerationen krumningsvektoren af partiklens verdenslinje. $\tau$
4-energi-momentum vektor ( fire-momentum ): $p^{i}=\venstre({\frac {\varepsilon }{c)),~p_{x},~p_{y},~p_{z}\right)$ . For en partikel med ikke-nul masse i fravær af eksterne felter . ${\displaystyle p^{i}=c\,mu^{i))$
firedimensionel strømtæthed ( 4-strøm ): $j^{i}=(c\rho ,~j_{x},~j_{y},~j_{z});$
bølge 4-vektor: $k_{i}=\venstre({\frac {\omega }{c)),-k_{x},-k_{y},-k_{z}\højre);$
Elektromagnetisk potentiale : $A_{i}=(\varphi ,~{-A}_{x},~{-A}_{y},~{-A}_{z}).$

Egenskaber

Fire-vektor transformationslov:

{\tilde {A}}^{i}=\sum _{j}S_{j}^{i}\ A^{j},

hvor - en matrix fra Lorentz-gruppen - en overgangsmatrix til nye koordinater (til en ny referenceramme). $S_{j}^{i}$

Punktprodukter (især firkanter) af 4-vektorer beregnes ved hjælp af Lorentz-metrikken (se også nedenfor).
- De er invariante under Lorentz-transformationer. De kaldes skalarer (i den firedimensionelle - rum-tid - forstand).
- For eksempel er dette et interval (kvadraten af intervallet er kvadratet af forskydningsvektoren i Lorentz-metrikken), massen (hvilemasse) - dets kvadrat er, op til en konstant faktor, kvadratet af 4-momentum : osv. $m^{2}=E^{2}/c^{4}-p^{2}/c^{2}$

Notation

Traditionelt er en 4-vektor betegnet som et sæt af dens komponenter. Således er en 4-vektor betegnet som (forveksle ikke denne notation med eksponentiering!) eller $-en$ $a^{i}$ $a_{i}.$

Koordinater, 3 rumlige og tidsmæssige, betegnes normalt som $x^{i}.$

Hvad betyder brugen af det øvre ( ) eller det nedre ( ) indeks i dette tilfælde er specifikt specificeret, men som standard, hvis begge (eller i det mindste den første) muligheder bruges, dvs. hvis der overhovedet bruges hævet skrift, kontravariante koordinater 4- vektor, og de nederste er de kovariante koordinater . I dette tilfælde kan den samme vektor have to forskellige repræsentationer - kontravariant og kovariant . $a^{i}$ $a_{i}$

I tilfælde af fladt rum og inerti referencerammer , som i elektrodynamik , speciel relativitet , og generelt i tilfælde, hvor tyngdekraften kan negligeres, adskiller de kovariante og kontravariante repræsentationer sig kun i tidens tegn (eller omvendt, afhængigt af de konventionelt accepterede signatur - rumlige) komponenter. I dette tilfælde kan det skalære produkt repræsenteres som en simpel sum af produkterne af de tilsvarende komponenter kun for produktet af en kovariant vektor med en kontravariant, for eksempel:

(a,b)=a^{i}b_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}b_{i}=a^{1}b_{1}+a^{2}b_{ 2}+a^{3}b_{3}+a^{4}b_{4}=a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}- a_{4}b_{4}

og i særdeleshed

(a)^{2}=(a,a)=a^{i}a_{i}\equiv \sum _{i}a^{i}a_{i}=a^{1}a_{1} +a^{2}a_{2}+a^{3}a_{3}+a^{4}a_{4}=(a_{1})^{2}-(a_{2})^{ 2}-(a_{3})^{2}-(a_{4})^{2}

(Her og nedenfor bruges summeringsreglen over det gentagne Einstein-indeks , og kvadrering er angivet som (...)²).

Hvis de ønsker at skrive et skalært produkt kun ved hjælp af kovariante eller kun kontravariante komponenter, bruger de normalt notationen med Lorentz-metrikken (eller ): $\eta _{{ij}}$ $\eta ^{{ij}}$

(a,b)=\eta _{{ij}}a^{i}b^{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta _{{ij}}a^{i}b ^{i}=a^{1}b^{1}-a^{2}b^{2}-a^{3}b^{3}-a^{4}b^{4}

eller

(a,b)=\eta ^{{ij}}a_{i}b_{j}\equiv \sum _{{i,j}}\eta ^{{ij}}a_{i}b_{i} =a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}

(begge metoder er ækvivalente med hinanden og til metoden beskrevet ovenfor med begge typer koordinater).

I et mere generelt tilfælde af ikke-lorentziske referencesystemer, herunder når tyngdekraften tages i betragtning i overensstemmelse med den generelle relativitetsteori , i stedet for en meget enkel og konstant lorentzisk metrik , skal man overveje en vilkårlig metrik , herunder en der afhænger af rumlige koordinater og tid (I alle formler skrevet i dette afsnit ovenfor er det i det generelle tilfælde nødvendigt at erstatte med , og med ). Samtidig ophører den simple regel, at de kovariante og kontravariante repræsentationer af en 4-vektor kun adskiller sig i fortegnet for de rumlige komponenter, de begynder at blive udtrykt gennem hinanden ved hjælp af også en generel metrisk (se Metrisk tensor# Isomorfi mellem tangent og cotangensrum ): $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}.$ $\eta _{{ij}}$ $g_{ij}$ $\eta ^{{ij}}$ $g^{ij}$ $g_{ij}$

a^{i}=g^{{ij}}a_{j}\equiv \sum _{j}g^{{ij}}a_{j},

a_{i}=g_{{ij}}a^{j}\equiv \sum _{j}g_{{ij}}a^{j}.

(Som vi ser, var disse formler også sande for, men i det tilfælde blev de reduceret til en simpel regel for at ændre fortegn for nogle komponenter, men her, i det generelle tilfælde, er de ikke længere reduceret). $\eta_{{ij}},$

Bemærk også, at i et rum-tid med krumning (som allerede korrekt betragtes som en manifold og ikke et vektorrum), er sættet af koordinater ikke længere en vektor. Imidlertid repræsenterer infinitesimale forskydninger i koordinater en vektor (vektoren af tangentrummet til manifolden i punktet ). $x^i$ $dx^{i}$ $x^i$

Og endelig, i tilfældet med den ovenfor betragtede Lorentzianske metrik, bruges der ofte kun subscripts , da de kovariante og kontravariante komponenter kun adskiller sig i fortegn, og man kan begrænse sig til kun at nævne én af dem (normalt kontravariante, selvom man bruger en subscription). ). Denne metode til dette tilfælde er relativt praktisk, da fraværet af superscripts er noget mere velkendt for ikke-specialister, og desuden kan den ikke skabe forvirring med notationen af eksponentiering. Den har dog også faldgruber, da f.eks. 4-gradientvektoren, skrevet i kontravariant form, ganske uventet har et minustegn for de rumlige komponenter: da den totale differentiale skal være invariant, og i skalarproduktformlen, hvis begge vektorer er repræsenteret i samme kontravariante form, indtræder som bekendt en fortegnsændring pga $(\partial _{0},-\partial _{1},-\partial _{2},-\partial _{3}),$ $df=\partial _{0}fdx^{0}+\partial _{1}fdx^{1}+\partial _{2}fdx^{2}+\partial _{3}fdx^{3}$ $\eta _{{ij}}.$

Interessant nok har metoden, der kun bruger abonnenter og en imaginær tidskomponent , ikke disse ulemper (hovedsageligt i anvendelsesområdet begrænset til det flade rumtilfælde, men ikke kun). Faktum er, at når du bruger denne metode, opnås de nødvendige tegn automatisk (opmærksomhed: under hensyntagen til signaturen ; valget af signatur er dog stadig et spørgsmål om aftale). Det vil sige, at du slet ikke behøver at tænke på tegn, du behøver ikke eksplicit at bruge matricen for den metriske tensor, selv det vil sige, at metrikken formelt er repræsenteret af en enkelt matrix ("formelt euklidisk", som ændrer naturligvis ikke dens virkelige pseudo-euklidiske karakter, men forenkler skrivning), og repræsentationen af alle 4-vektorer enkelt og ensartet: $\eta_{{ij}},$

4-træk $dx_{\mu }=(ic~dt,dx,dy,dz),$
4-impuls $p_{\mu }=(iE/c,p_{x},p_{y},p_{z}),$
firedimensionel strømtæthed $j_{\mu }=(ic\rho ,j_{x},j_{y},j_{z}),$
bølge 4-vektor $k_{\mu }=(i\omega /c,k_{x},k_{y},k_{z}),$
elektromagnetisk potentiale $A_{\mu }=(i\phi ,A_{x},A_{y},A_{z}),$

og så videre, hvor i er den imaginære enhed .

4-vektor i matematik

Et punkt i Minkowski-rummet kaldes en begivenhed og er givet af fire koordinater:

{\mathbf {x}}:=\venstre(ct,x,y,z\right),

hvor er lysets hastighed , er tidspunktet for begivenheden, og er dens rumlige koordinater. Sådan en 4-vektor kaldes en 4-radius vektor. $c$ $t$ $x,y,z$

Mange andre 4-vektorer kan konstrueres ud fra den og længere fra hinanden ved at addere, subtrahere, multiplicere eller dividere med en skalar, samt differentiere med hensyn til en skalar osv. Fra en 4-radius-vektor kan der således vha. differentiering med hensyn til korrekt tid , opnås en 4-hastighed osv.

De skalære produkter af 4-vektorer er Lorentz-invariante mængder (invarianter af Lorentz-gruppen), skalarer af Minkowski-rummet.

Historie

4-vektorer blev først betragtet af Poincare ( 1905 ) og derefter af Minkowski . De anså tidskomponenten af 4-vektoren for at være rent imaginær, hvilket automatisk genererede den nødvendige regel for beregning af skalarproduktet i den sædvanlige summering af komponenternes produkter. Udtrykket "4-vektor" blev foreslået af Arnold Sommerfeld i 1910 .

Litteratur

Landau L. D. , Lifshits E. M. § 2. Interval. § 3. Behørig tid. § 6. Firedimensionelle vektorer. § 7. Firedimensionel hastighed. // Felt teori. - 7. udgave, revideret. — M .: Nauka , 1988. — 512 s. - (" Teoretisk fysik ", bind II). — ISBN 5-02-014420-7 . .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Forelæsninger i fysik. Bind 6: Elektrodynamik. Oversættelse fra engelsk (bind 3). — Redaktionel URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . - ch. 25. "Elektrodynamik i relativistisk notation". (Dette er en simpel introduktion for bachelorer; for at undgå forvirring skal du bemærke, at der kun bruges abonnenter i denne bog, men de henviser til de modstridende komponenter i 4-vektorer.)