4-acceleration

4-acceleration (fire-acceleration, fire-acceleration) i relativistisk kinematik er en fire-vektor , der generaliserer den klassiske acceleration og er defineret som den afledte af 4-hastigheden med hensyn til den korrekte tid for partiklen:

{\mathbf {A}}={\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau }}=\venstre(\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}c,\ quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf a}+\gamma _{u}{\dot \gamma }_{u}{\mathbf u}\right)=\left(\gamma _{u }^{4}{\frac {({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}})}{c}},\quad \gamma _{u}^{2}{\mathbf {a }}+\gamma _{u}^{4}{\frac {\left({\mathbf {a}}\cdot {\mathbf {u}}\right)}{c^{2}}}{\ mathbf{u}}\right),

hvor

{\mathbf a}={d{\mathbf u} \over dt}

- 3-acceleration,

{\boldsymbol {\beta }}={\mathbf {u}}/c

— dimensionsløs 3-trins,

{\dot \gamma }_{u}={\frac {{\mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}\gamma _{u}^{3}={\frac {{ \mathbf {a\cdot u}}}{c^{2}}}{\frac {1}{\left(1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}\right )^{{3/2}}}}

og er Lorentz-faktoren for 3-hastigheden u . Prikken over variablen betyder den afledede med hensyn til koordinattid i en given referenceramme og ikke med hensyn til korrekt tid $\gamma _{u}$ $\tau .$

I en øjeblikkelig kommende inerti-referenceramme , og det vil sige i en sådan referenceramme ${\mathbf u}=0,$ $\gamma _{u}=1$ ${\dot \gamma }_{u}=0,$

{\mathbf {A}}=\left(0,{\mathbf a}\right).

Geometrisk er 4-accelerationen krumningsvektoren af verdenslinjen [1] [2] .

Modulet for 4-accelerationen (som er en invariant skalar) er således lig med den iboende acceleration , som "føles" af en partikel, der bevæger sig langs sin verdenslinje . Verdenslinjer, der har en konstant 4-acceleration, er Minkowski-cirkler, altså hyperbler (se hyperbolsk bevægelse ).

Selv ved relativistiske hastigheder er 4-accelerationen relateret til 4-kraften, der virker på partiklen ved en formel, der generaliserer Newtons klassiske anden lov :

F^{\mu}=mA^{\mu};

her er m partiklens masse .

Det skalære produkt af 4-hastigheden og den tilsvarende 4-acceleration er altid nul. Det er let at se dette ved at differentiere identiteten med hensyn til korrekt tid: Således er 4-accelerationen og den tilsvarende 4-kraft, der er co-rettet med den, og som virker på en partikel, altid ortogonale i forhold til dens 4-hastighed (og 4-momentum co-directed med 4-velocity ) - i modsætning til klassisk mekanik. ${\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv c^{2}$ ${\frac {d}{d\tau }}({\mathbf {U}}\cdot {\mathbf {U}})=2{\frac {d{\mathbf {U}}}{d\tau } }\cdot {\mathbf {U}}=2{\mathbf {A}}\cdot {\mathbf {U}}\equiv {\frac {d}{d\tau }}c^{2}=0.$ $p^{\mu }=mU^{\mu }$

I generel relativitet er komponenterne i fire-vektoraccelerationen relateret til komponenterne i fire-hastigheden gennem den kovariante afledte med hensyn til korrekt tid.

A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{{\mu \nu }}U^{\mu}U^{\nu}

( Γ λ μν er Christoffel-symboler ).

I speciel relativitet er koordinaterne normalt udtrykt i en retlinet inerti-referenceramme, så begrebet med Christoffel-symboler forsvinder, men nogle gange, når forfatterne bruger kurvelineære koordinater til at beskrive det accelererede system, er referencerammen ikke inerti, men fysik forbliver stadig speciel relativistisk, da metrikken simpelthen er koordinattransformationen af Minkowski-rummetrikken . I et sådant tilfælde skal ovenstående udtryk bruges, for her er Christoffel-symbolerne ikke alle nul.

Når 4-kraften er nul, virker kun tyngdekraften på partiklen, og firevektorversionen af Newtons anden lov (se ovenfor) reduceres til den geodætiske ligning. En partikel, der laver geodætisk bevægelse, har en nulværdi for hver komponent i 4-accelerationsvektoren. Dette stemmer overens med, at tyngdekraften ikke er en kraft.

Se også

Noter

↑ Pauli W. Relativitetsteori . — 1981 Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - S. 74 . — ISBN 978-0-486-64152-2 .
↑ Synge JL , Schild A. Tensor Calculus . - 1978 Dover. - University of Toronto Press , 1949. - S. 149, 153 og 170. - ISBN 0-486-63612-7 .

Litteratur

Pauli W. Relativitetsteori . — genudgivet i 1981 af Dover. - BG Teubner, Leipzig, 1921. - ISBN 978-0-486-64152-2 .
Papapetrou A. Forelæsninger om generel relativitet . — D. Reidel Forlag, 1974. - ISBN 90-277-0514-3 .
Rindler, Wolfgang. Introduktion til speciel relativitet (2. ) . - Oxford: Oxford University Press, 1991. - ISBN 0-19-853952-5 .
Synge JL, Schild A. Tensor Calculus . — genudgivet i 1978 af Dover. - University of Toronto Press , 1949. - ISBN 0-486-63612-7 .