Kerne (kategoriteori)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 12. januar 2018; verifikation kræver 1 redigering .

Kernen i kategoriteori er den kategoriske ækvivalent til kernen af en homomorfi fra generel algebra ; intuitivt er kernen af en morfisme den "mest generelle" morfisme , hvorefter applikationen giver nul-morfismen . $f\kolon X\til Y$ $k\colon K\to X$ $f$

Definition

Lad være en kategori med nul morfismer . Så er kernen af morfismen udligneren af den og nulmorfismen . Mere eksplicit gælder følgende generiske egenskab : ${\mathcal C}$ $f\kolon X\til Y$ $0\colon X\to Y$

Kernen er en morfisme sådan, at: $f\kolon X\til Y$ $k\colon K\to X$

$f\circ k$ er en nulmorfisme fra til : $K$ $Y$
for enhver morfisme , der er nul, er der en unik morfisme , sådan at : $k'\colon K'\to X$ $f\circ k'$ $u\colon K'\to K$ $k\circ u=k'$

Eksempler

I mange kategorier falder denne definition af kernen sammen med den sædvanlige: hvis er en homomorfi af grupper eller moduler , så er kernen i kategorisk forstand en indlejring af kernen i algebraisk forstand i forbilledet. $f\kolon X\til Y$

Men i kategorien monoider svarer kerner i kategorisk betydning til gruppernes kerner, så definitionen af en kerne i monoidteori er lidt anderledes. I kategorien ringe er der tværtimod ingen kerner i kategorisk forstand, da der ikke er nogen nulmorfismer. Kernerne af monoider og ringe kan fortolkes i kategoriteori ved hjælp af begrebet par af kerner .

Forbindelse med andre kategoriske begreber

Begrebet dual til kernen er cokernel , det vil sige, kernen af en morfisme er dens cokernel i den dobbelte kategori og omvendt.

Hver kerne, som enhver anden equalizer , er en monomorfi . Omvendt siges en monomorfi at være normal , hvis den er kernen i en anden morfisme. En kategori kaldes normal , hvis hver monomorfi i den er normal.

Især Abelske kategorier er normale. I denne situation kaldes kernen af en morfis kokkerne dens billede . Desuden er hver monomorfi sit eget billede.

Litteratur

McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .

Paolo Aluffy. Algebra: Kapitel 0. - 2009. - (Kandidatstudier i matematik). — ISBN 0-8218-4781-3 .