Pontryagin nummer

Pontryagin-tallet er et karakteristisk tal defineret for rigtige lukkede manifolds og tager rationelle værdier.

Definition

Lad M være en 4 n - dimensional glat lukket manifold og være en partition af tallet , dvs. et sæt naturlige tal, sådan at . ${\displaystyle \omega =\{k_{1},k_{2},\dots ,k_{m))\))$ $n$ $k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n$

rationelt tal

P_{\omega }=p_{k_{1}}\cup p_{k_{2}}\cup \cdots \cup p_{k_{m}}([M])

kaldes Pontryagin-tallet for manifolden M med hensyn til skillevæggen , her betegnes Pontryagin-klasserne . $\omega$ $p_{i}$

Selvom Pontryagin-tal formelt er defineret for glatte manifolds, er de topologiske invarianter ved Novikovs teorem .

Egenskaber

Pontryagins sætning. Pontryagin-tallene for to grænseoverskridende (i orienteret forstand) manifolder er lige store. desuden
- Hvis alle Pontryagin- og Stiefel-Whitney-numrene for to orienterede lukkede manifolds falder sammen, så er disse manifolds grænseoverskridende (i orienteret forstand).
Manifoldens signatur er udtrykt i form af Pontryagin-tallene, det vil sige signaturen for den kvadratiske skæringsform defineret på , . $H^{n/2}(M)$ $n=dimM$
Spinor-indekset ( -genus) for en lukket spinor-manifold , det vil sige indekset for Dirac-operatøren på , er udtrykt i form af Pontryagin-tallene . ${\hat {A}}$ $M$ $M$