Equalizer (matematik)

En equalizer (også en forskelskerne ) i kategoriteori er en generalisering af konceptet om en løsning til en eller anden ( algebraisk , differentialligning , etc.) ligning, det vil sige et sæt, hvorpå disse afbildninger falder sammen.

Konceptet dual til equalizeren er co- equalizeren .

Definition

Morfisme-equalizeren og er grænsen (hvis den findes) for diagrammet , dvs. en sådan morfisme , at der for enhver morfisme er en unik morfisme , for hvilken følgende diagram er kommutativ: $f\kolon X\til Y$ $g\colon X\to Y$ $\downarrow \downarrow$ $eq\colon E\to X$ $f\circeq=g\circeq$ $m\colon O\to X$ $u\colon O\to E$

Tilsvarende kan equalizeren defineres som en kouniversal firkant for morfismer og . $f\kolon X\til Y$ $g\colon X\to Y$

Eksempler

I kategorien af sæt, equalizeren af to mappings og er en naturlig indlejring i sættet af de sæt, hvorpå og falder sammen, det vil sige sætene . ${\mathcal {S}}et$ $f$ $g$ $x$ $f$ $g$ $\{x\in X:f(x)=g(x)\}$
Equalizeren i kategorien topologiske rum er defineret på samme måde . ${\mathcal {T}}op$
I kategorien Abelske grupper falder udligningen af homomorfismer sammen med kernen i deres forskel. Det er grunden til, at equalizeren i en vilkårlig kategori også nogle gange kaldes differenskernen, selvom forskellen mellem morfismer generelt ikke er defineret i en ikke -præadditiv kategori. ${\mathcal {A}}b$

Litteratur

McLane S. Kapitel 3. Universelle konstruktioner og grænser // Kategorier for den arbejdende matematiker = Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M . : Fizmatlit, 2004. - S. 68-94. — 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .