D'Alemberts ligning

d'Alembert-ligningen er en differentialligning af formen

$y=x\varphi (y')+f(y'),$

hvor og er funktioner. Det blev først studeret af J. D'Alembert (J. D'Alembert, 1748). Det er også kendt under navnet Lagrange-ligningen, et særligt tilfælde ved kaldes Clairaut-ligningen [1] . $\varphi$ $f$ $\varphi (y')\equiv y'$

Løsning

Integration af differentialligninger af denne type udføres i en parametrisk form ved hjælp af parameteren

y'=p.

Når denne substitution tages i betragtning, antager den oprindelige ligning formen

y=x\varphi(p)+f(p).

Differentiering med hensyn til x giver:

p=\varphi (p)+\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx))

eller

p-\varphi (p)=\left(x\varphi '(p)+f'(p)\right){\frac {dp}{dx)).

Særlige beslutninger

En af løsningerne til den sidste ligning er enhver funktion, hvis afledede er en konstant , der opfylder den algebraiske ligning ${\displaystyle y'=p=p_{0))$

p_{0}-\varphi (p_{0})=0,

siden for permanent ${\displaystyle p_{0))$

{\frac {dp}{dx}}\equiv 0.

Hvis , så skal konstanten C findes ved at indsætte i den oprindelige ligning: $y'=p_{0}$ ${\displaystyle y=p_{0}x+C_{0))$

p_{0}x+C_{0}=x\varphi (p_{0})+f(p_{0}),

siden i den undersøgte sag , da $p_{0}=\varphi (p_{0})$

C_{0}=f(p_{0})

Til sidst kan vi skrive:

y=x\varphi (p_{0})+f(p_{0})

Hvis en sådan løsning ikke kan opnås fra den generelle, så kaldes den speciel .

Generel løsning

Vi vil overveje den inverse funktion til , så ved hjælp af sætningen om den afledede af den inverse funktion , kan vi skrive: $p=y'$

{\frac {dx}{dp}}-x{\frac {\varphi '(p)}{p-\varphi (p)))={\frac {f'(p)}{p- \varphi(p)}}

Denne ligning er en førsteordens lineær differentialligning , der løser hvilken, vi får et udtryk for x som en funktion af p :

x=w(p,C).

Således opnås løsningen af den oprindelige differentialligning i parametrisk form:

{\begin{cases}y=x\varphi (p)+f(p)\\x=w(p,C)\end{cases))

Ved at fjerne variablen p fra dette system får vi generelle løsninger i formen

\Phi (x,y,C)=0

Noter

↑ Piskunov H. S. Differential- og integralregning for højere uddannelsesinstitutioner, bind 2 .: Lærebog for højere uddannelsesinstitutioner .. - 13. udg . — 560 s.