Trilateration

Trilateration (af lat. trilaterus - tripartite) er en metode til at bestemme positionen af geodætiske punkter ved at konstruere et system af tilstødende trekanter på jorden, hvori længderne af deres sider måles [1] . Det er en af metoderne til at bestemme koordinater på jorden sammen med triangulering (hvori vinklerne på de tilsvarende trekanter måles) og polygonometri (både vinkler og afstande måles). Trilateration er baseret på et lineært hak .

Matematisk udledning

Mulighed 1

I geometri er det tredimensionelle trilaterationsproblem at finde koordinaterne for skæringspunktet mellem tre sfærer , som bestemmes ved at løse et ligningssystem . For at forenkle beregningerne antager vi, at centrene for alle tre sfærer ligger i planet , en af dem falder sammen med oprindelsen af koordinater , den anden ligger på aksen . De pålagte restriktioner reducerer ikke generaliteten: ethvert system af tilsvarende ligninger kan reduceres til denne form ved at gå over til et andet koordinatsystem . For at finde en løsning i det oprindelige koordinatsystem, udsættes løsningen fundet i dette (reducerede) koordinatsystem for transformationer, der er omvendt til dem, der gjorde det muligt at bringe det oprindelige sæt af tre punkter i overensstemmelse med begrænsningerne. $z=0$ $x$

Lad os starte med ligningerne for de tre sfærer:

{\begin{cases}r_{1}^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}\\r_{2}^{2}=(xd)^ {2}+y^{2}+z^{2}\\r_{3}^{2}=(xi)^{2}+(yj)^{2}+z^{2}\\\ slut{cases}}

Du skal finde et punkt , der opfylder alle tre ligninger. $(x,y,z)$

Træk først den anden ligning fra den første og find : $x$

x={\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}}{2d}}

Vi mener, at de to første sfærer skærer hinanden i mere end ét punkt, dvs. I dette tilfælde, ved at erstatte udtrykket i ligningen for den første sfære, opnår vi cirkelligningen , som er det ønskede skæringspunkt mellem de to første sfærer: $d-r_{1}<r_{2}<d+r_{1}$ $x$

y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-{\frac {(r_{1}^{2}-r_{2}^{2}+d^{2}) ^{2}}{4d^{2}}}

Vi erstatter : i ligningen for den tredje sfære og finder : $y^{2}+z^{2}=r_{1}^{2}-x^{2}$ $y$

y={\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}-x^{2}+(xi)^{2}+j^{2}}{2j}}={ \frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}+i^{2}+j^{2}}{2j}}-{\frac {i}{j}}x

At kende koordinaterne , og du kan nemt finde koordinaterne : $x$ $y$ $z$

z=\pm {\sqrt {r_{1}^{2}-x^{2}-y^{2}}}.

Nu har vi alle tre koordinater. Fordi det er udtrykt som en positiv eller negativ kvadratrod, kan et givet problem have nul, én eller to løsninger. $z$

Dette kan repræsenteres ved at tage cirklen opnået fra skæringspunktet mellem de to første sfærer og finde dens skæringspunkt med den tredje sfære. Hvis denne cirkel passerer uden for den tredje sfære, er koordinaten lig med roden af et negativt tal, hvilket betyder, at der ikke er nogen reel løsning. Hvis cirklen rører kuglen i præcis ét punkt, er den lig nul. Hvis cirklen skærer kuglen i to punkter, er det lig med den positive eller negative rod af et positivt tal. $z$ $z$ $z$

Mulighed 2: ingen koordinattransformation

Ved at bruge det faktum, at hvert par sfærer skærer hinanden langs en cirkel, hvis centrum ligger på en ret linje, der forbinder sfærernes centre, og det faktum, at denne cirkel ligger i et plan vinkelret på denne rette linje, kan vi løse problemet gennem en lineær ligningssystem .

Lad være centrene for de oprindelige sfærer, være afstandene mellem sfærernes centre, og være det ønskede punkt. $O_{1}(x_{1},y_{1},z_{1}),O_{2}(x_{2},y_{2},z_{2}),O_{3}(x_{3} },y_{3},z_{3})$ $d_{ij}$ $X(x,y,z)$

Find - midten af skæringspunktet mellem de to første kugler. $O_{{12}}(x_{1}+\alpha (x_{2}-x_{1}),y_{1}+\alpha (y_{2}-y_{1}),z_{1}+ \alpha (z_{2}-z_{1}))$

|O_{1}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{1}^{2}

|O_{2}O_{{12}}|^{2}+|O_{{12}}X|^{2}=r_{2}^{2}

Træk den anden ligning fra den første:

|O_{1}O_{{12}}|^{2}-|O_{2}O_{{12}}|^{2}=r_{1}^{2}-r_{2}^{2 }

. Lad os transformere:

\alpha ^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}-(1-\alpha )^{2}|O_{1}O_{2}|^{2}=r_{1} ^{2}-r_{2}^{2}

\alpha ={\frac {1}{2}}+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}

Det ønskede punkt ligger i et plan, der går igennem og vinkelret på . Derfor er ligningen for dette plan opfyldt for det: $O_{{12}}$ $O_{1}O_{2}$

(x-(1-\alpha )x_{1}-{\alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+(y-(1-\alpha )y_{1}-{ \alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1})+(z-(1-\alpha )z_{1}-{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_ {1})=0

, for ellers:

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z=((1-\alpha )x_{1}+{ \alpha }x_{2})(x_{2}-x_{1})+((1-\alpha )y_{1}+{\alpha }y_{2})(y_{2}-y_{1 })+((1-\alpha )z_{1}+{\alpha }z_{2})(z_{2}-z_{1})

Efter udskiftning får vi: $\alfa$

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2d_{{12}}^{2}}}((x_{2}-x_{1}) ^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}+(z_{2}-z_{1})^{2})

(x_{2}-x_{1})x+(y_{2}-y_{1})y+(z_{2}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 2}^{2}-x_{1}^{2}+y_{2}^{2}-y_{1}^{2}+z_{2}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{2}^{2}}{2}}

Ligeledes,

(x_{3}-x_{1})x+(y_{3}-y_{1})y+(z_{3}-z_{1})z={\frac {1}{2}}(x_{ 3}^{2}-x_{1}^{2}+y_{3}^{2}-y_{1}^{2}+z_{3}^{2}-z_{1}^{2 })+{\frac {r_{1}^{2}-r_{3}^{2}}{2}}

Skæringspunktet mellem de to opnåede planer giver en ret linje vinkelret på trekantens plan. Skæringen af denne linje med trekantens plan giver et punkt - bunden af vinkelret fra punktet til trekantens plan. Efter at have suppleret systemet med ligningen for trekantens plan får vi et lineært ligningssystem for punktets koordinater . $O$ $x$ $O$

Trekantplansligning:

((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{1}))(x- x_{1})+((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1 }))(y-y_{1})+((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{ 3}-y_{1}))(z-z_{1})=0

hvor:

{\vec {n}}((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1})(z_{3}-z_{ 1}),(z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_{2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}), (x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_{1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))

er vektorproduktet og .

\overline {O_{1}O_{2}}

\overline {O_{1}O_{3}}

Koefficienterne ved koordinaterne for det ønskede punkt danner en 3x3 matrix. Hvis centrene af de oprindelige sfærer ikke ligger på en lige linje, er denne matrix ikke degenereret , og de ønskede koordinater findes efter at have anvendt den inverse matrix til højre side af systemet. Angiv de fundne koordinater for punktet . Derefter: $O$ $O(x_{0},y_{0},z_{0})$

{\begin{cases}x=x_{0}+k((y_{3}-y_{1})(z_{2}-z_{1})-(y_{2}-y_{1 })(z_{3}-z_{1}))\\y=y_{0}+k((z_{3}-z_{1})(x_{2}-x_{1})-(z_ {2}-z_{1})(x_{3}-x_{1}))\\z=z_{0}+k((x_{3}-x_{1})(y_{2}-y_ {1})-(x_{2}-x_{1})(y_{3}-y_{1}))\\k=\pm {\frac {\sqrt {r_{1}^{2}- |OO_{1}|^{2}}}{2S_{O_{1}O_{2}O_{3}}}}\\\end{cases}}

Ulemper

Først

Selve kontrollen af afstandsmålinger og trilaterationsnetværkskonstruktioner er for svag, og i nogle konfigurationer er den fuldstændig fraværende, hvilket er uacceptabelt i præcise geodætiske konstruktioner. For eksempel i den 1. trekant med målte sider er målekontrol fuldstændig fraværende, da der ikke opstår en eneste betinget ligning, det vil sige, at der ikke er nogen overflødige målinger; i en geodætisk firkant og et centralt system med målte sider opstår kun én betinget ligning, det vil sige, at der er et utilstrækkeligt antal redundante målinger [2] .

Anden

Med sammenlignelig nøjagtighed af vinkel- og lineære målinger er nøjagtigheden af azimuttransmission i trilateration betydeligt lavere end ved triangulering. Styringen udføres gennem Laplace Azimuths, som tillader uafhængig kontrol og udligning af vinkelmålinger [2] [3] .

Tredje

I teknisk og økonomisk henseende er trilatereringsmetoden væsentligt ringere end triangulering. Metoden er kompleks både i feltarbejde og i kontorberegninger [2] .

Karakteristika

Klasser/rækker	Sidelængde, km	Sidefejl (begrænser relativ fejl ved bestemmelse af sidelængder)	Antal trekanter mellem oprindelser	Minimumsvinkel i en trekant, bue. grad	Minimumsvinkel i en firkant, bue. grad
III klasse
IV klasse	1-5	1: 50.000	6	tyve	25
1 rang	0,5-6	1: 20.000	otte	tyve	25
2. kategori	0,25-3	1: 10.000	ti	tyve	25

[fire]

Ansøgning

Trilateration kan bruges til at lokalisere lynnedslag . Detektorer, der opererer på et fælles synkroniseret system, kan bruge forskellen i ankomsttid for den radioemission, der ledsager udledningen, til at bestemme afstanden fra detektoren til udledningen. Sådanne systemer kan være nyttige i skovbrug til brandforebyggelse og cyklonsporing .

Denne metode kan i nogle tilfælde bruges til dannelse af geodætiske referencenetværk af III, IV klasser, koncentration af netværk op til 1, 2 kategorier. Ved oprettelse af statsgeodætiske netværk af klasse I og II blev trilatereringsmetoden ikke brugt i USSR [5] [6] [2] .

I forbindelse med udvikling og forbedring af nøjagtigheden af lys- og radiorækkeviddeudstyr, satellitnavigationssystemer samt computerteknologi og afstandsmålinger, bliver trilatereringsmetoder stadig vigtigere, især i udøvelse af ingeniørarbejde og geodætisk arbejde [2] .

Se også

Noter

↑ Sergei Fedorovich Akhromeev, Institut for Militærhistorie. Militær encyklopædisk ordbog. — Militær. forlag, 1986. - 863 s.
↑ 1 2 3 4 5 Yakovlev N.V. § 14. GRUNDLÆGGENDE METODER TIL AT SKABE DET STATSGEODETIKE NETVÆRK // Højere Geodesi . - Moskva: Nedra, 1989. - S. 47 -48. — 445 s. - 8600 eksemplarer. (Russisk)
↑ Igor Pandul. Geodætisk astronomi som anvendt til løsning af tekniske geodætiske problemer . — Liter, 2017-12-09. — 326 s. — ISBN 9785040943883 . Arkiveret 21. juni 2020 på Wayback Machine
↑ Teknisk geodesi
↑ Trilateration, dens metode - hvad er det? . Hentet 4. januar 2020. Arkiveret fra originalen 19. juni 2020. (ubestemt)
↑ Grundlæggende metoder til at skabe et statsgeodætisk netværk . Hentet 4. januar 2020. Arkiveret fra originalen 7. januar 2020. (ubestemt)

Litteratur

Brinker, R.C. og Minnick, R. 12. Trilateration // The Surveying Handbook . - Chapman & Hall, 1995. - 967 s. — ISBN 9780412985119 .