Pilotbølgeteori

I teoretisk fysik er pilotbølgeteorien det første kendte eksempel på en skjult variabel teori .

Det blev introduceret af Louis de Broglie i 1927. Dens mere moderne version i fortolkningen af Bohm er et forsøg på at fortolke kvantemekanikken som en deterministisk teori, hvor begreber som det øjeblikkelige sammenbrud af bølgefunktionen og paradokset ved Schrödingers kat finder deres forklaring .

Principper

Pilotbølgeteorien er en skjult variabel teori. Derfor er teorien baseret på følgende begreber:

realisme (hvilket betyder, at dens begreber eksisterer uafhængigt af iagttageren );
determinisme .

Positionen og momentum af hver partikel betragtes som skjulte variabler; de er defineret til enhver tid, men ikke kendt af observatøren; startbetingelserne for partiklen kendes heller ikke nøjagtigt, så der fra observatørens synspunkt er en usikkerhed i partiklens tilstand, som er i overensstemmelse med Heisenbergs usikkerhedsprincip .

Et sæt partikler svarer til en bølge , der udvikler sig ifølge Schrödinger-ligningen . Hver af partiklerne følger en deterministisk bane [1] , som er orienteret til bølgefunktionen , fuldstændigt, partikeltætheden svarer til størrelsen af bølgefunktionen. Bølgefunktionen er ikke afhængig af partikler og kan også eksistere som en tom bølgefunktion [2] .

Som de fleste andre fortolkninger af kvantemekanik end mange-verdenernes fortolkning , er denne teori ikke-lokal .

Konsekvenser

Pilotbølgeteorien viser, at der er en teori, der er realistisk og deterministisk, og derved forsøger den at forudsige kvantemekanikkens eksperimentelle resultater, såsom dobbeltspalte-eksperimentet .

Matematisk grundlag

For de Broglie-Bohms pilotbølgeafledning for elektroner , kvante Lagrangian

L(t)={{\frac {1}{2}}}mv^{2}-(V+Q),

hvor Q er potentialet forbundet med kvantekraften (den partikel, der påvirkes af bølgefunktionen) integreres langs en vej (som elektronen faktisk følger). Dette fører til følgende formel for Bohm- propagatoren :

K^{Q}(X_{1},t_{1};X_{0},t_{0})={\frac {1}{J(t)^{{{\frac {1}{2} )))))\exp \left[{\frac {i}{\hbar }}\int _{{t_{0}}}^{{t_{1}}}L(t)\,dt\right ]

Denne propagator gør det muligt at spore elektronen over tid under påvirkning af kvantepotentialet Q.

Afledning af Schrödinger-ligningen

Pilotbølgeteorien er baseret på Hamilton-Jacobi-dynamik [3] og ikke på Lagrangiansk eller Hamiltonsk dynamik. Brug af Hamilton-Jacobi-ligningerne

H\venstre({\mathbf {q)),{\partial S \over \partial {\mathbf {q))},t\right)+{\partial S \over \partial t}\left({\mathbf {q}},t\right)=0

- du kan få Schrödinger-ligningen .

Overvej en klassisk partikel, hvis position er ukendt. Vi skal betragte det statistisk, så kun sandsynlighedstætheden ρ(x, t) er kendt. Sandsynligheden skal bevares, dvs. for hver t. Derfor skal den opfylde kontinuitetsligningen $\int \rho \,d^{3}x=1$

\partial \rho /\partial t=-\nabla \cdot (\rho v)\quad (1)

hvor v(x, t) er partiklens hastighed.

I Hamilton-Jacobi-formuleringen af klassisk mekanik er hastigheden givet ved , hvor S(x, t) er løsningen af Hamilton-Jacobi-ligningen: $v(x,t)={\frac {\nabla S(x,t)}{m))$

-{\frac {\partial S}{\partial t))={\frac {\left(\nabla S\right)^{2)){2m))+{\tilde {V))( x)\quad(2),

hvor er det ydre potentiale i hvis felt partiklerne bevæger sig. ${\tilde {V}}$

Vi kan kombinere ligning (1) og (2) til et enkelt ligningssystem ved at introducere en kompleks funktion . Så er disse to ligninger ækvivalente: $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {iS}{\hbar }}}$

i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t))=\venstre(-{\frac {\hbar ^{2)){2m))\nabla ^{2}+V\ højre)\psi\quad(3)

hvor

V={\tilde {V}}-Q

\quad Q=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\nabla ^{2}{\sqrt {\rho }}}{\sqrt {\rho }} }\quad(4)

Ligning (3) falder sammen med standard Schrödinger-ligningen for bølgefunktionen af en kvantepartikel i et eksternt potentiale . Vender vi tilbage til ligning (2), ser vi, at kvantemekanikken kan skrives i form af klassisk mekaniks bevægelsesligninger, hvis vi i stedet for den sædvanlige potentielle energi bruger et udtryk , der inkluderer et ekstra ikke-lokalt kvantepotentiale afhængigt af krumningen af bølgefunktionens amplitude. $\psi$ $V$ ${\tilde {V}}{=}V{+}Q$ $Q$

Hydrodynamisk formulering af Schrödinger-ligningen (Madelung-de Broglie-Bohm-teori)

Den afslørede forbindelse mellem klassisk og kvantemekaniks ligninger ligger til grund for Madelung - de Broglie - Bohm-teorien , også kendt som den hydrodynamiske formulering af Schrödinger-ligningen . Inden for rammerne af denne teori er der ikke behov for eksplicit at indføre en pilotbølge. Teoriens udgangspunkt er repræsentationen af bølgefunktionen i polære koordinater, hvor det antages, at sandsynligheden for at finde partiklen i punktet er ikke-negativ , og den reelle værdi bestemmer bølgefunktionens fase. Ved at erstatte denne repræsentation i Schrödinger-ligningen (3) kan man omskrive evolutionsligningerne i nye variable og : $\psi ={\sqrt {\rho }}e^{{\frac {iS}{\hbar }}}$ $\rho (x)$ $x$ $S$ $\rho (x,t)$ $v(x,t)={\tfrac {\nabla S(x,t)}{m}}{=}{\tfrac {\hbar }{m}}\mathrm {Im} [{\tfrac {\nabla \psi }{\psi }}]$

{\frac {\partial {\rho (x,t)}}{\partial t}}{=}-\mathrm {div} (v\rho ),\quad

(5a)

m{\frac {du}{dt}}{=}{-}\mathrm {grad} (V{+}Q).\quad

(5 B)

Det er let at se, at den første af disse ligninger falder sammen med kontinuitetsligningen for noget "kvantevæske", med tæthed og strømningshastighed . Den anden ligning er i det væsentlige en analog til Newtons anden lov, hvor kvantepotentialet Q igen optræder, givet ved formel (2). $\rho$ $v$

Ligninger (5) er de grundlæggende ligninger i den hydrodynamiske beskrivelse af kvantemekanikken. Hele deres kvantenatur er "skjult" i potentialet Q, som definerer en ikke-lokal, ikke-additiv og i høj grad singulære interaktion mellem partiklerne i en kvantevæske. Især både selve kvantepotentialet og dets gradient vender normalt til det uendelige på de punkter, hvor , på grund af hvilke partikler af en kvantevæske øjeblikkeligt kan få uendelige hastigheder og glide gennem "tørre" steder, hvor den forsvinder. På grund af dette har dynamikken defineret af ligning (5) kvalitative forskelle fra den klassiske. Som et illustrativt eksempel er det interessant at overveje dannelsen af et interferensmønster ved at to gaussiske bølgepakker frit udbreder sig mod hinanden. Husk på, at i standardfortolkningen af kvantemekanik opstår interferensmønsteret på grund af princippet om kvantesuperposition, som tillader pakkernes bølgefunktioner at passere gennem hinanden uden at interagere. Samtidig kan strømmene af kvantevæskepartikler ikke krydse hinanden. Som et resultat opstår interferens som et resultat af et komplekst spredningsmønster af kolliderende partikelstrømme, hvor deres hastigheder når uendelige værdier. $\rho (x)=0$ $\rho (x)$

De beskrevne matematiske træk ved den kvantehydrodynamiske beskrivelse er en væsentlig hindring for dens anvendelse i anvendte beregninger. Ikke desto mindre er der eksempler på dens vellykkede brug både til anvendelse på de enkleste testproblemer og til at beskrive nogle molekylære processer [4] . [5] ..

Tomme bølgefunktioner

Lucien Hardy [6] og J.S. Bell [2] understreger, at der i de Broglie-Bohm-billedet af kvantemekanik kan være "tomme bølger", som beskrives af bølgefunktioner, der forplanter sig i rum og tid, men ikke bærer energi eller momentum [7] og ikke bundet til en partikel. Det samme koncept blev kaldt "spøgelsesbølgen" (eller "Gespensterfelder", spøgelsesfelter) af Albert Einstein . [otte]

Begrebet en tom bølgefunktion er blevet diskuteret i detaljer i litteraturen [9] [10] [11] . I mange-verdenernes fortolkning af kvantemekanikken er der ingen grund til at introducere begrebet en tom bølgefunktion [2] .

Noter

↑ Udsat for uforudsigelige forstyrrelser, såvel som med en nøjagtig ukendt starttilstand for partiklen. [1] Arkiveret 2. februar 2015 på Wayback Machine
↑ 1 2 3 J. S. Bell: Kvantemekanikkens seks mulige verdener (link utilgængeligt) , Fundamenter af fysik, vol. 22, nr. 10, del I. Inviterede artikler dedikeret til Louis De Broglie, 1992, s. 1201-1215, DOI: 10.1007/BF01889711, s. 1212
↑ Towler, Mike, http://www.tcm.phy.cam.ac.uk/~mdt26/pilot_waves.html Arkiveret 10. april 2016 på Wayback Machine
↑ Robert E. Wyatt: Quantum Dynamics with Trajectories: Introduction to Quantum Hydrodynamics (Springer, 2005) ISBN 978-0-387-22964-5
↑ B. Gu og S. Garashchuk, "Quantum Dynamics with Gaussian Bases Defined by the Quantum Trajectories" J. Phys. Chem. A 120, 3023 (2016) ( abstrakt arkiveret 16. maj 2022 på Wayback Machine )
↑ Lucien Hardy: Om eksistensen af tomme bølger i kvanteteorien , Physics Letters A, vol. 167, nr. 1, 6. juli 1992, s. 11-16, DOI: 10.1016/0375-9601(92)90618-V ( abstrakt arkiveret 24. september 2015 på Wayback Machine )
↑ Franco Selleri, Alwyn Van der Merwe . Kvanteparadokser og fysisk virkelighed , s. 86
↑ Franco Selleri , Alwyn Van der Merwe : Quantum paradoxes and physical reality , Fundamental Theories of Physics, Kluwer Academic, 1990, ISBN 0-7923-0253-2 , s. 85-86 Arkiveret 16. april 2020 på Wayback Machine
↑ Marek Zukowski . "Om eksistensen af tomme bølger i kvanteteorien": en kommentar // Physics Letters A, vol. 175, nr. 3-4, 12. april 1993, s. 257-258, DOI: 10.1016/0375-9601(93)90837-P ( abstrakt )
↑ HD Zeh: Hvorfor Bohms kvanteteori?, fundet. Phys. Lett. 12 (1999), s. 197-200, quant-ph/9812059v2 Arkiveret 15. december 2018 på Wayback Machine
↑ L. Vaidman . The Reality in Bohmian Quantum Mechanics or Can You Kill with an Empty Wave Bullet?, quant-ph/0312227 Arkiveret 1. marts 2019 på Wayback Machine (indsendt den 31. december 2003)