Loyasevichs ulighed

Lojasiewiczs ulighed er en ulighed etableret af den polske matematiker Stanisław Lojasiewicz ( polsk: Stanisław Łojasiewicz ), som giver en øvre grænse for afstanden fra et punkt i en vilkårlig kompakt mængde til nulniveausættet af en reel analytisk funktion af mange variable. . Denne ulighed har fundet anvendelser i forskellige grene af matematikken, herunder reel algebraisk geometri, analyse og differentialligningsteorien [1] [2] .

Ordlyd

Lad funktionen være reel analytisk på et ikke-tomt åbent sæt og lad være sættet af nuller af funktionen . Hvis mængden er ikke -tom, så eksisterer der for ethvert ikke-tomt kompakt sæt konstanter og sådan at uligheden $f:U\til \mathbb{R}$ $U\subset \mathbb{R} ^{n}$ $Z=\{x\in U:f(x)=0\}$ $f$ $Z$ $K\undersæt U$ $\alpha \geq 2$ $C>0$

\inf _{{z\in Z}}|xz|^{\alpha }\leq C|f(x)|\ \ \forall \,x\in K,

hvoraf antallet kan være ret stort. $\alfa$

Derudover er der for ethvert punkt et tilstrækkeligt lille kvarter af det og sådanne konstanter og , at den anden Loyasevichs ulighed gælder ː $p\in U$ $W\undersæt U$ $0<\beta <1$ $C>0$

|f(x)-f(p)|^{\beta }\leq C|\nabla f(x)|\ \ \forall \,x\in W.

Det følger naturligvis af den anden ulighed, at der for hvert kritisk punkt i en reel analytisk funktion eksisterer et kvarter, således at funktionen har samme værdi på alle kritiske punkter i dette kvarter.

Litteratur

Tobias Holck Colding, William P. Minicozzi II , Lojasiewicz uligheder og applikationer, arXiv:1402.5087 Arkiveret 21. januar 2022 på Wayback Machine
Malgrange B. Idealer for differentierbare funktioner. — M.: Mir, 1968.
Bierstone, Edward & Milman, Pierre D. (1988), Semianalytiske og subanalytiske sæt , Publications Mathématiques de l'IHÉS (nr. 67): 5–42, MR : 972342 , ISSN 1618-1913 , < http://www. numdam.org/item?id=PMIHES_1988__67__5_0 > Arkiveret 8. august 2014 på Wayback Machine
Ji, Shanyu; Kollár, János & Shiffman, Bernard (1992), A global Łojasiewicz ulighed for algebraiske varianter , Transactions of the American Mathematical Society bind 329 (2 ) : 813-818 , MR : 1046016 , < http://www.ams.org . /journals/tran/1992-329-02/S0002-9947-1992-1046016-6/ > Arkiveret 1. november 2015 på Wayback Machine

Loyasevichs ulighed

Ordlyd

Litteratur

Noter