Descartes' sætning (geometri)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 14. august 2022; checks kræver 2 redigeringer .

Descartes' sætning siger, at for alle fire indbyrdes tangerende cirkler opfylder radierne af cirklerne en andengradsligning . Ved at løse denne ligning kan du konstruere en fjerde cirkel, der tangerer de tre andre givne cirkler. Sætningen er opkaldt efter René Descartes , som formulerede den i 1643.

Historie [1]

Geometriske problemer på tangentcirkler er blevet diskuteret i tusinder af år. I det antikke Grækenland i det 3. århundrede f.Kr. viede Apollonius af Perga en hel bog til dette emne. Desværre overlevede bogen, som hed On Touch , ikke, da den døde i branden på biblioteket i Alexandria .

René Descartes diskuterede problemet kort i 1643 i et brev til prinsesse Elisabeth af Bøhmen . Han kom frem til nøjagtig samme løsning som angivet nedenfor i ligning (1), og skrev dermed sit navn ind i sætningen.

Frederick Soddy genopdagede ligningen i 1936. Tangentcirklerne i dette problem bliver nogle gange omtalt som Soddy's Circles , muligvis fordi Soddy valgte at udgive sin version af sætningen som et digt med titlen The Kiss Precise , som blev udgivet i Nature (20. juni 1936). Soddy generaliserede teoremet til sfærer. Thorold Gosset generaliserede teoremet til vilkårlige dimensioner [2] .

Ældre historie

Syn på Igor Sharygin [3] : I det meste af Edo-perioden (1603-1867) var Japan næsten fuldstændig isoleret fra den vestlige verden og udviklede sig på sine egne måder, uden indflydelse fra vestlige civilisationer. Dette forhindrede dog ikke udviklingen af japansk videnskab, især matematik. Geometrien blomstrede især. Japanerne troede, at geometriens kunst var til behag for Gud. Repræsentanter for alle klasser var glade for hende, fra bønder til samurai. De skildrede deres opdagelser og teoremer med farvestrålende maling på tavler - sangaku - og hængte dem ved templer - mest shinto, sjældnere buddhistiske - og grave. Disse tavler var både et tilbud til en æret guddom og en "udgivelse" af forfatteren om hans smukke opdagelse. Verbale forklaringer var næsten ikke-eksisterende. Forfatteren så ud til at sige: "Se og, hvis du kan, bevis det!"... De smukke problemer og teoremer, der er samlet i bogen "Japanese Temple Geometry" er en slags "cirkelregning", "cirkelsalme". Blandt dem finder vi ikke kun Soddy-formlen, men også dens generalisering til det tredimensionelle tilfælde. Den første omtale af forholdet mellem radierne af cirkler dukkede op på et bræt (sangaku) i 1796 i Tokyo Prefecture, det fulde bevis blev offentliggjort i 1830. Interessant nok blev et eksempel, der viser forholdet mellem radierne af fem sammenhængende kugler, beskrevet på en tavle fundet samme sted og senere tabt, så tidligt som i 1785. I midten af det 19. århundrede blev et komplet bevis på den "generaliserede formel for fem sammenhængende bolde" offentliggjort i Japan ...

Definition af krumning

Descartes' sætning er enklest angivet i form af krumningen af cirkler. En cirkels krumning er defineret som , hvor r er dens radius. Jo større cirklen er, jo mindre krumning er den og omvendt. $k=\pm \ 1/r$

Plustegnet i k = ±1/ r placeres, hvis cirklen har ekstern tangens til en anden cirkel, som de tre sorte cirkler i figuren. Ved berøring af cirkler indvendigt , som en stor rød cirkel i figuren, der beskriver resten af cirklerne, sættes et minustegn.

Hvis vi antager, at en ret linje er en degenereret cirkel med nul krumning (og derfor med en uendelig radius), gælder Descartes' sætning også for en ret linje og to cirkler, der rører hinanden i par. I dette tilfælde giver sætningen radius af den tredje cirkel, der berører de to andre og linjen.

Hvis fire cirkler rører hinanden i seks forskellige punkter, og cirklerne har krumninger k i (for i = 1, …, 4), siger Descartes' sætning [4] :

(k_{1}+k_{2}+k_{3}+k_{4})^{2}=2\,(k_{1}^{2}+k_{2}^{2}+k_{ 3}^{2}+k_{4}^{2}).

(en)

Hvis du prøver at finde radius af den fjerde cirkel, der tangerer tre cirkler, der rører hinanden, skrives ligningen bedre som:

k_{4}=k_{1}+k_{2}+k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}+k_{2}k_{3}+k_{3}k_{ en}}}.

(2)

Tegnet ± afspejler det faktum, at der i det generelle tilfælde er to løsninger. Hvis vi udelukker det degenererede tilfælde af en ret linje, er den ene løsning positiv, mens den anden kan være enten positiv eller negativ. Hvis løsningen er negativ, repræsenterer den en cirkel, der beskriver de tre første (som vist på figuren).

Særlige lejligheder

Hvis en af cirklerne erstattes af en ret linje, så vil et af tallene k i , f.eks. k 3 , være nul og falder ud af ligning (1). Ligning (2) bliver meget enklere:

k_{4}=k_{1}+k_{2}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2}}}.

(3)

Hvis to cirkler erstattes af rette linjer, erstattes tangens mellem de to cirkler af paralleliteten af to rette linjer. De to øvrige resterende cirkler skal være lige store. I dette tilfælde, med k 2 = k 3 = 0, bliver ligning (2) triviel

\displaystyle k_{4}=k_{1}.

Det er umuligt at erstatte de tre cirkler med linjer, da en cirkel og tre linjer ikke kan røre hinanden i par. Descartes' sætning gælder heller ikke for det tilfælde, hvor alle fire cirkler rører hinanden på et tidspunkt.

Et andet særligt tilfælde er, når k i er kvadrater,

(v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{4 }+z^{4})

Euler viste, at det svarer til en tredobbelt af Pythagoras tripler ,

(2vx)^{2}+(2yz)^{2}=\,(v^{2}+x^{2}-y^{2}-z^{2})^{2}

(2vy)^{2}+(2xz)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}+y^{2}-z^{2})^{2}

(2vz)^{2}+(2xy)^{2}=\,(v^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2})^{2}

og en parametrisk repræsentation kan gives . Hvis vi vælger det negative tegn på krumning,

(-v^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2})^{2}=2\,(v^{4}+x^{4}+y^{ 4}+z^{4})

ligningen kan repræsenteres som en velkendt parametrisk løsning [5] ,

[v,x,y,z]=\,[2(ab-cd)(ab+cd),(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}) (a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2}),2(ac-bd)(a^{2}+c^{2}),2(ac- bd)(b^{2}+d^{2})]

hvor

a^{4}+b^{4}=\,c^{4}+d^{4}

Descartes' komplekse sætning

For at definere en cirkel fuldstændigt, skal du ikke kun kende dens radius (eller krumning), men du skal også kende dens centrum. Den tilsvarende ligning skrives bedst, når koordinaterne ( x , y ) er repræsenteret som et komplekst tal z = x + i y . Ligningen ligner så ligningen i Descartes' sætning og kaldes derfor Descartes' komplekse sætning .

Hvis der er givet fire cirkler med krumninger k i og centre z i ( i = 1…4), ud over lighed (1), gælder følgende lighed:

(k_{1}z_{1}+k_{2}z_{2}+k_{3}z_{3}+k_{4}z_{4})^{2}=2\,(k_{1} ^{2}z_{1}^{2}+k_{2}^{2}z_{2}^{2}+k_{3}^{2}z_{3}^{2}+k_{4 }^{2}z_{4}^{2}).

(fire)

Efter at k 4 er fundet ved hjælp af ligning (2), kan du begynde at beregne z 4 ved at ændre ligning (4) til en form svarende til (2):

z_{4}={\frac {z_{1}k_{1}+z_{2}k_{2}+z_{3}k_{3}\pm 2{\sqrt {k_{1}k_{2} z_{1}z_{2}+k_{2}k_{3}z_{2}z_{3}+k_{1}k_{3}z_{1}z_{3}}}}{k_{4} }}.

Igen er der generelt to løsninger for z 4 svarende til to løsninger for k 4 .

Generaliseringer

Generaliseringen for n-dimensionelt rum omtales undertiden som Soddy-Gosse-sætningen , selvom dette allerede blev gjort i 1886 af R. Lachlan. I n - dimensionelt euklidisk rum er det maksimale antal gensidigt tangentende ( n - 1)-dimensionelle sfærer n + 2. For eksempel i 3-dimensionelt rum kan fem sfærer gensidigt røre ved hinanden. Hypersfærernes krumninger opfylder ligningen

\left(\sum _{{i=1}}^{{n+2}}k_{i}\right)^{2}=n\,\sum _{{i=1}}^{{n +2}}k_{i}^{2}

og tilfældet k i = 0 svarer til et hyperplan, ligesom i det todimensionale tilfælde.

Selvom der ikke er nogen 3-dimensionelle analoger til komplekse tal, kan forholdet mellem centrenes placeringer repræsenteres i form af matrixligninger [6] .

Se også

Ford cirkel
Apollonius gitter
Six Spheres of Soddy
Tangentlinjer til en cirkel
Isoperimetrisk punkt

Noter

↑ Barabanov O. O., Barabanova L. P. History of Descartes' cirkelsætning // History of science and technology , nr. 5, 2011. - S. 2-15
↑ Lagarias JC, Mallows CL, Wilks AR Beyond the Descartes Circle Theorem. arXiv matematik M.G. Jan 2001// arXiv:math/0101066v1 [math.MG] 9. januar 2001// arxiv.org›pdf/math/0101066.pdf
↑ Vasilenko A. A. SERENADE TO MATHEMATICS (utilgængeligt link) / MATHEMATICS. ALT TIL LÆREREN! nr. 9 (21)|September 2012 °C. 45-46.
↑ Formel (1) kaldes nogle gange for Soddys sætning . Han dedikerede et kort digt til hende.
↑ En samling af algebraiske identiteter: summer af tre eller flere 4. potenser . Hentet 16. marts 2015. Arkiveret fra originalen 17. april 2018. (ubestemt)
↑ Jeffrey C. Lagarias, Colin L. Mallows, Allan R. Wilks. Beyond the Descartes Circle Theorem // The American Mathematical Monthly. - april 2002. - T. 109 , no. 4 . — S. 338–361 . — .