Abels sætning om uløseligheden af ligninger i radikaler

Abel-Ruffini-sætningen siger, at en generel algebraisk gradsligning er uløselig i radikaler [1] . $n\geqslant 5$

Detaljer

Galois-teorien beskriver permutationsgruppen af polynomiers rødder . Det moderne bevis for sætningen er baseret på følgende to fakta:

Når graden af polynomiet er større end eller lig med 5 , er polynomiets Galois-gruppe permutationsgruppen [2] . $n$ $S_{n}$
Når permutationsgruppen ikke kan løses [3] . $n\geqslant 5$ $S_{n}$

Det er let at se, at en væsentlig del af beviset er "gemt" i Galois-teorien.

Abel-Ruffini-sætningen siger ikke, at den generelle ligning for th grad ved ikke har nogen løsning. Hvis komplekse løsninger tillades , garanterer algebraens grundlæggende teorem eksistensen af løsninger. Essensen af Abel-Ruffini-sætningen bunder i det faktum, at det for vilkårlige ligninger af grad større end den fjerde er umuligt at angive en eksplicit formel for løsninger, det vil sige en formel, der definerer alle mulige løsninger og kun indeholder aritmetiske operationer og rødder af vilkårlig grad. $n$ $n\geqslant 5$

Løsninger til sådanne ligninger kan opnås med enhver ønsket nøjagtighed ved hjælp af numeriske metoder såsom Newtons metode .

Derudover kan rødderne til nogle ligninger af højere grader udtrykkes i radikaler. For eksempel har ligningen en rod . $x^{5}-5x^{4}-10x^{3}-10x^{2}-5x-1=0$ $x=1+{\sqrt[{5}]{2}}+{\sqrt[{5}]{4}}+{\sqrt[{5}]{8}}+{\sqrt[ {5}]{16}}$

Selvom en kvintisk ligning er uløselig i radikaler, er der formler for dens rødder ved hjælp af theta-funktioner .

Eksplicitte formler for potenser mindre end 5

For ligninger med en grad mindre end den femte kan du angive en eksplicit løsningsformel. Dette faktum kan betragtes som den "anden del" eller som den "omvendte" Abel-Ruffini-sætning. Selvom dette udsagn ikke følger af Abel-Ruffini-sætningen, er det sandt: se Cardanos formler (for ligninger af tredje grad) og Ferrari (for fjerde grad) [4] .

Historie

Det første bevis på teoremet blev offentliggjort i 1799 af Ruffini . Der var flere unøjagtigheder i beviset. I 1824 udgav Abel et fuldstændigt bevis .

Deres beviser var baseret på Lagranges ideer om at forvandle rødderne til en ligning. Senere blev disse ideer udviklet i Galois-teorien , som tillod formuleringen af den moderne beviserklæring og tjente som udgangspunkt i udviklingen af abstrakt algebra .

Opløselige ligningstyper

Selvom sætningen siger, at ligningerne ikke har en generel formel at løse, tillader nogle typer ligninger i høj grad nøjagtige løsninger. Blandt dem:

Se også

Galois teori
Bringa Root
Lilys metode er en grafisk metode til at finde de rigtige rødder af polynomier af vilkårlig grad.
Opløsning af en algebraisk ligning
Ligning af sjette grad

Noter

↑ Alekseev, 2001 , s. 112.
↑ Alekseev, 2001 , s. 187.
↑ Alekseev, 2001 , s. halvtreds.
↑ Alekseev, 2001 , s. 9-12.

Litteratur

Alekseev, V. B. Abels sætning i problemer og løsninger. -M.: MTSNMO, 2001. - 192 s. -ISBN 5-900916-86-3. (Russisk)
Tabachnikov, S. L. , Fuchs, D. B. Matematisk divertissement. Foredrag 5. - MTSNMO, 2011. - 512 s. -ISBN 978-5-94057-731-7. (Russisk)
Bosch, S. Algebra (tysk) . — 6. Auflage. - Springer , 2006. - ISBN 3-540-29880-0 .
Dehn, E. Algebraiske ligninger: En introduktion til teorierne om Lagrange og Galois (engelsk) . — New York: Columbia University Press , 1930.
Fraleigh, JB Etførste kursus i abstrakt algebra . — Syvende Udgave. - Pearson Education Limited, 2014. - ISBN 1-292-02496-8 .
Stewart , I. Galois teori . - Anden version. -Chapman & Hall, 1989. -ISBN 978-94-010-6864-2.

Abels sætning om uløseligheden af ​​ligninger i radikaler