Alaoglus sætning
Alaoglus sætning er en sætning om funktionel analyse, et af de vigtigste resultater om svag topologi .
Det finder anvendelse i fysik, når man beskriver mængden af tilstande i algebraen af observerbare, nemlig at enhver tilstand kan skrives som en konveks lineær kombination af såkaldte rene tilstande.
Normalt i beviset identificerer den enhedskuglen med den svage* topologi med en lukket delmængde af produktet af kompakte sæt med produkttopologien . Som en konsekvens af Tikhonovs teorem er dette produkt, og dermed enhedskuglen inde i det, kompakt.
Ordlyd
Den lukkede enhedskugle af dobbeltrummet af et normeret vektorrum er kompakt i den svage* topologi .
Historie
Ifølge Pitch er der mindst 12 matematikere, der kan hævde denne sætning eller dens vigtige forgænger [1]
- I 1912 beviste Edward Helly , at enhedskuglen i et kontinuerligt dobbeltrum er tælleligt kompakt i den svage* topologi [2] .
- I 1932 beviste Stefan Banach , at den lukkede enhedskugle i det kontinuerlige dobbeltrum i ethvert adskilleligt normeret rum er sekventielt svag* kompakt [2] .
- Et bevis for den generelle sag blev offentliggjort i 1940 af Leonidas Alaoglu .
![{\displaystyle C([a,b])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8e4f44fa2823fcdffc5fc26981c0d4fa57cade9)
Noter
- ↑ Narici, Beckenstein, 2011 , s. 235-240.
- ↑ 1 2 Narici, Beckenstein, 2011 , s. 225-273.
Litteratur
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward. Topologiske vektorrum. Ren og anvendt matematik (anden udgave) (engelsk) . - Boca Raton: CRC Press, 2011. - ISBN 978-1584888666 .