Svagt afledt

" Svag afledt " (i matematik ) er en generalisering af begrebet en afledt af en funktion ("stærk afledt") for funktioner, der er Lebesgue-integrerbare (det vil sige fra rummet $L_{1}$ ), men som ikke kan differentieres .

Definition

Lad være en funktion fra . En funktion af kaldes en "svag afledt" if $u$ $L^{1}([a,b])$ $v(t)$ $L^{1}([a,b])$ $u$

\int _{a}^{b}u(t)\varphi '(t)dt=-\int _{a}^{b}v(t)\varphi (t)dt

for alle kontinuerligt differentierbare funktioner til . Denne definition er baseret på metoden til integration af dele . $\varphi$ $\varphi (a)=\varphi (b)=0$

Generalisering til målinger, hvis og hører til rummet af lokalt integrerbare funktioner for et eller andet domæne , og hvis er et multiindeks , kaldes det en svag afledt af rækkefølgen, hvis $n$ $u$ $v$ $L_{loc}^{1}(U)$ $U\subset {\mathbb {R}}^{n}$ $\alfa$ $v$ $u$ $\alfa$

\int _{U}uD^{\alpha }\varphi =(-1)^{|\alpha |}\int _{U}v\varphi

for alle — endelig i uendeligt glatte funktioner. $\varphi \in C_{c}^{\infty }(U)$ $U$

Hvis en funktion har en svag afledet, så er den ofte betegnet med , da den er unik op til et sæt af mål nul. $u$ $D^{\alpha }u$

Eksempler

Funktion u : [−1, 1] → [0, 1], u ( t ) = | t |, som ikke har nogen afledt i punktet t = 0, har ikke desto mindre en svag afledet v på intervallet [−1, 1] , den såkaldte "tegnfunktion" ( sgn ), defineret af følgende relation:

v\colon [-1,1]\to [-1,1]\colon t\mapsto v(t)={\begin{cases}1,&t>0;\\0,&t=0; \\-1,&t<0.\end{cases}}

Dette er ikke den eneste afledte af u : enhver funktion w , der falder sammen med v næsten overalt , vil også være en svag afledt af u . Normalt er dette ikke et problem, da både Lp- rummene og Sobolev-rummenes synspunkt er ækvivalente.

Den karakteristiske funktion af mængden af rationelle tal D ( Dirichlet-funktionen ) er ingen steder differentierbar, men har en svag afledet overalt. Da Lebesgue-målet for rationelle tal er lig med nul, så

\int D(t)\varphi (t)dt=0

Der er således en svag afledt af funktionen D . Dette bør være intuitivt, fordi D i rummet Lp svarer til det identiske nul.

v(t)\equiv 0

Egenskaber

Hvis to funktioner er svage afledte af den samme funktion, så falder de sammen på et sæt af fuld mål ( næsten overalt ). Hvis vi, som det er sædvanligt i rum , antager, at næsten overalt lige funktioner er ækvivalente, så er den svage afledte entydigt defineret. $L_{p}$

Hvis u har en almindelig ("stærk") afledt, så vil det være en svag afledt. I denne forstand er den svage afledte en generalisering af den stærke. Desuden er de klassiske regler for afledninger af summer og produkter af funktioner også bevaret for svage afledte.

Udvikling

Begrebet et svagt afledt lagde grundlaget for konstruktionen af den såkaldte. svage løsninger i Sobolev rum , som viste sig nyttige i teorien om differentialligninger og i funktionel analyse .

Litteratur

Mikhlin S.G. Kursus i matematisk fysik. - 2., stereotypisk. - Sankt Petersborg. : Lan, 2002. - 576 s. — ISBN 5-8114-0468-9 .
Sobolev S.L. Nogle anvendelser af funktionel analyse i matematisk fysik. — 3. udg., revideret og suppleret. — M .: Nauka , 1988. — 336 s. — ISBN 5-02-013756-1 .
Ladyzhenskaya O.A. , Uraltseva N.N. Lineære og kvasilineære ligninger af elliptisk type. — M .: Nauka , 1973. — 576 s.