St. Petersborg paradoks

St. Petersburg-paradokset (eller St. Petersburg-lotteriet ) i økonomi er et paradoks, der illustrerer uoverensstemmelsen mellem en spillers teoretisk optimale adfærd og "sund fornuft".

Oprindelse

Paradokset blev først udgivet af Daniil Bernoulli i "Kommentarer fra St. Petersborg Akademi" [1] . Situationen var tidligere blevet beskrevet af Daniels nevø Nicholas I Bernoulli i hans korrespondance med den franske matematiker Pierre Montmort .

Nogle gange tilskrives forfatterskabet af paradokset Leonhard Euler [2] , og navnet er forbundet med, at Euler boede og arbejdede i Skt. Petersborg i lang tid .

Udsagn om paradokset

Følgende problem tages i betragtning. Når spilleren går ind i spillet, betaler spilleren et bestemt beløb og vender derefter en mønt (sandsynligheden for hvert udfald er 50%), indtil den kommer op. Når hoveder falder ud, slutter spillet, og spilleren modtager en udbetaling beregnet i henhold til følgende regler. Hvis der kastes hoveder på det første kast, modtager spilleren dukater, på det andet kast dukater og så videre (på det -. kast dukater). Med andre ord løber udbetalingen, fordobling fra kast til kast, successivt gennem potenserne to - 1, 2, 4, 8, 16, 32, og så videre. $2^0$ $2^1$ $n$ $2^{{n-1}}$

Spørgsmål: Til hvilket adgangsgebyr bliver spillet fair?

Det er ikke svært at finde den matematiske forventning om spillerens udbetaling, som er lig med uendelig :

M={\frac {1}{2}}\cdot 1+{\frac {1}{4}}\cdot 2+{\frac {1}{8}}\cdot 4+{\frac {1} {16}}\cdot 8+\cdots=

={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}+\cdots =

=\infty\,.

Det paradoksale er, at selvom den beregnede værdi af dette fair bidrag er lig med uendeligt, det vil sige højere end enhver mulig gevinst, føler rigtige spillere, at selv 25 dukater er for høj en pris til at komme ind i spillet.

Opløsninger af paradokset

Opløsning gennem begrænsninger i den virkelige verden

Lad os give estimater for løsningerne af paradokset i form af antal spil og tidsgrænser.

Sandsynligheden for, at antallet af kast i et bestemt spil overstiger nogle , er lig med . Lad spilleren være i stand til at spille på de fleste spil. Så er sandsynligheden for, at antallet af kast i mindst ét spil overstiger lig med . For store er det omtrent lig med . $n$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}$ $k$ $n$ $1-\venstre(1-{\frac {1}{2^{n))}\højre)^{k}$ $n$ ${\displaystyle {\frac {k}{2^{n))))$

Vi vil antage, at en hændelse med en sandsynlighed mindre end nogle aldrig indtræffer. Så overstiger det "rigtige" antal kast ikke . Med denne antagelse er den gennemsnitlige udbetaling pr. spil omtrent lig med: $s$ $\log _{2}(k/p)$

$1\cdot {\frac {1}{2}}+2\cdot {\frac {1}{4}}+...+2^{n}\cdot {\frac {1}{2 ^{n+1}}}={\frac {n}{2}},$ hvor $n=\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

Det vil sige, at den gennemsnitlige gevinst er ${\frac {1}{2}}\log _{2}{\frac {k}{p}}.$

For eksempel, for 1000 spil og p = 10 −6 får vi en gennemsnitlig gevinst på omkring 15.

Tilladelse via hjælpefunktion

En anden løsningsmulighed er gennem penges nyttefunktion . I betragtning af en konveks marginal nyttefunktion (ofte en logaritmisk ), sikrer vi igen, at dens matematiske forventning er endelig .

Så hvis vi antager, at det er vigtigt for spilleren at øge ikke med en vis mængde penge , men med et vist antal gange , så vil han evaluere gevinsten i henhold til den logaritmiske nyttefunktion , maksimere værdien Petersburg-paradokset, matematisk forventning om nytte bliver begrænset: $\ln {{\frac {X}{X_{0))))$ $x$ $X_{0}$

M\ln {\frac {X}{X_{0))}=\sum _{i=1}^{\infty }\left(\ln {\frac {2^{i-1)) {X_{0}}}\right)2^{-i}=\ln 2-\ln X_{0}.

Herfra er det nemt at få spillets fair værdi: . $X_{0}=2$

Denne løsning kan forbedres ved at overveje nytten af gevinsten givet stigningen i spillerens eksisterende kapital (en stigning på 1000 dukater øger en tiggers nyttefunktion mere end en milliardærs), men svaret ændrer sig kun lidt. $w$

I dette tilfælde er det muligt at ændre udbetalingssystemet på en sådan måde, at denne løsning også vil være uacceptabel: for hver ubegrænset hjælpefunktion er der en sådan sekvens af udbetalinger for at få hoveder på det i -te trin, at den forventede nytte vil igen være lig med uendelighed. $n$

Vægtede sandsynligheder

Nicholas Bernoulli foreslog selv en anden idé til at løse paradokset. Han bemærkede, at folk ville negligere usandsynlige begivenheder (de Montmort, 1713 [3] ). Da i St. Petersborg-paradokset kun hændelser med lav sandsynlighed giver høje gevinster, som fører til en uendelig værdi af den forventede værdi af gevinsten, kan dette hjælpe med at løse paradokset.

Ideen om vægtede sandsynligheder dukkede op igen meget senere i arbejdet med prospektteori af Daniel Kahneman og Amos Tversky . Men deres eksperimenter viste, at folk tværtimod har en tendens til at overdrive vægten af individuelle usandsynlige begivenheder. Måske er det derfor, den løsning, Nicholas Bernoulli har foreslået af nogle[ af hvem? ] anses ikke for at være helt tilfredsstillende.

Aggregeret (kumulativ) prospektteori er en af de almindelige generaliseringer af forventet nytteteori , som kan tilbyde forklaringer på mange adfærdsmønstre (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Imidlertid kan overdrivelsen af vægten af usandsynlige begivenheder introduceret i kumulativ prospektteori genoprette St. Petersborg-paradokset. Den kumulative prospektteori løser kun paradokset i tilfælde, hvor nyttefunktionseksponenten er mindre end den vægtede sandsynlighedsfunktionseksponent (Blavatsky, 2005 [5] ). Intuitivt, for at løse paradokset, bør nyttefunktionen ikke bare være konkav, men den bør være konkav i forhold til den vægtede sandsynlighedsfunktion.

Det kan indvendes, at indikatoren for nyttefunktionen i prospektteori opnås på basis af data på højst $400 (Tversky, Kahneman, 1992 [4] ). Mens St. Petersborg-paradokset opstår, når man estimerer mængderne, der stiger til det uendelige. Det vil sige, at brugen af Kahneman-Tversky-formlerne i dette tilfælde er forkert.

Afvisning af at bruge matematisk forventning som beregningsmetode

Forskellige forfattere, herunder d'Alembert og John Maynard Keynes , har afvist forventningsmaksimeringstilgangen som den rigtige beregningsmetode, og endda nytten af forventning i sådanne tilfælde. Især insisterede Keynes på, at den relative risiko for en alternativ begivenhed kunne være høj nok til at udelukke alle muligheder for forekomsten af denne alternative begivenhed, selv i det tilfælde, hvor den matematiske forventning om en positiv begivenhed er meget stor.

Med andre ord, hvis casinoet tilbyder at spille dette spil for 25 dukater, så vil det store flertal af spillere afvise, da det overvejer at vinde mindre end 25 dukater i spillet.

Svar ved hjælp af forsøg

En matematisk korrekt tilgang ved hjælp af forsøg blev foreslået af William Feller i 1937. Hvis du ikke bruger en streng beskrivelse, så er den intuitive forklaring som følger. Metoden bruger teknikken "spil dette spil med et stort antal mennesker, og udregn derefter den matematiske forventning om at vinde i forsøg." Ifølge denne teknik, hvis sekvensen af forventninger til gevinstbeløb divergerer, så kræver dette antagelsen om en uendelig tid til at spille, og hvis antallet af spil spillet af en person er begrænset til et vist antal, så konvergerer den matematiske forventning til en værdi, der er meget mindre end dette tal.

Se også

Noter

↑ Kort biografi om Bernoulli
↑ Nye facetter af St. Petersborg-paradokset
↑ de Montmort, Pierre Remond Essay d'analyse sur les jeux de hazard (fransk) . - Sekund. - Providence, Rhode Island: American Mathematical Society , 1713. - ISBN 978-0-8218-3781-8 . . Engelsk oversættelse: Pulskamp, Richard J Korrespondance af Nicolas Bernoulli vedrørende St. Petersburg Game ( PDF (88 KB) ). Hentet 22. juli 2010. Arkiveret fra originalen 9. september 2008. (ubestemt)
↑ 1 2 Tversky, A.; Kahneman, D. Fremskridt i prospektteori: Kumulativ repræsentation af usikkerhed // Journal of Risk and Uncertainty : journal. - 1992. - Bd. 5 , nr. 4 . - S. 297-323 . - doi : 10.1007/bf00122574 .
↑ Blavatskyy, P. Tilbage til St. Petersborgs paradoks? // Ledelsesvidenskab. - 2005. - T. 51 , nr. 4 . - S. 677-678 . - doi : 10.1287/mnsc.1040.0352 .

Litteratur

Kudryavtsev A. A. St. Petersborgs paradoks og dets betydning for økonomisk teori // Bulletin of St. Petersburg University . - 2013. - Udgave. 3 . - S. 41-55 .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)

Økonomiske paradokser
Alle Antitrust Pil information paradoks Bertrand Braesa Udkastninger konkurrence Demografisk og økonomisk Downes-Thomson Easterlin Edgeworth Ellsberg europæisk Gibson Giffen Varer Icarus Jevons Leontief Lucas Mandeville Mayfield Metzler ressource forbandelse Ydeevne velstand Skitowski Service Sankt Petersborg Sparsommelighed Beskæftigelse Tulloch Værdier