Ligestilling (matematik)

  0 en 2 3 fire 5 6 7 otte 9
0 • × × × × × × × × ×
en × • × × × × × × × ×
2 × × • × × × × × × ×
3 × × × • × × × × × ×
fire × × × × • × × × × ×
5 × × × × × • × × × ×
6 × × × × × × • × × ×
7 × × × × × × × • × ×
otte × × × × × × × × • ×
9 × × × × × × × × × •
Ligestilling af decimaltal som en binær relation: • sand, × falsk

Ligestilling (lighedsforhold) i matematik  er en binær relation , den mest logisk stærke form for ækvivalensrelation .

Definitioner af ligestilling

Lighed er et intuitivt forhold: betydningen af ​​to udtryk er den samme . I dens formelle definition er der inkonsekvens.

Mængteori betragter per definition to objekter (dvs. to sæt ) som lige, hvis de består af de samme elementer:

I teorier med objekttypning giver lighedsforholdet kun mening mellem elementer af samme type (med andre ord inden for et bestemt sæt). Logikere (først i Freges prædikatlogik , derefter i typeteori) stolede på en definition af lighed svarende til mængdeteoretisk, men betragtede relationer fra en anden vinkel:

Det vil sige, at for ligheden mellem to objekter er det nødvendigt og tilstrækkeligt , at ethvert prædikat , der kan bygges på en given type, giver den samme booleske værdi på dem. Det var dog ikke logikerne, der kom med denne definition - den var endda kendt af Leibniz .

Nogle formelle teorier unddrager sig definitionen af ​​lighed, idet de betragter det som et oprindeligt givet ækvivalensforhold.

Relaterede definitioner

Den formelle definition og den intuitive forståelse af ligestilling er nogle gange i konflikt. Er (heltal) nummer 1 lig med (reelt) tal ? Fra et intuitionssynspunkt, ja, men fra et typeteoretisk synspunkt er spørgsmålet forkert stillet (jf. problematikken omkring typestøbning i programmering). I matematik er det i sådanne tilfælde en kanonisk indlejring af et sæt (mellemrum, type) i et andet, større. Spørgsmålet om et helt tals lighed med et reelt tal kan forstås som ligheden mellem et egentligt tal og et andet reelt tal svarende til vores helhed. Det vil sige, at arbejde med intuitivt "indlysende" fakta, såsom at hvert heltal er rationelt, og rationelt er virkeligt, kræver særlige forbehold inden for rammerne af nogle formelle tilgange.

En ligning er et logisk udsagn  konstrueret ved hjælp af lighed , som inkluderer en variabel . Det specificerer en delmængde af emneområdet for variablen - sæt af rødder af ligningen.

Definitionen af ​​en størrelse eller variabel er skrevet ved hjælp af lighed: Lad variablen være lig med udtrykket.

En identitet  er et udsagn, der er sandt for alle værdier af variablerne. Det er ofte (men ikke nødvendigvis) bygget ud fra en ligestillingsrelation.

Se også