Modullængde

Længden af et modul er en måde at måle "størrelsen" af et modul på, ved at generalisere konceptet om dimensionen af et vektorrum . Længden er defineret som den maksimale længde af en kæde af indlejrede undermoduler.

Definition

Lad M være et (venstre eller højre ) modul over R . Vi siger, at længden af kæden af dens undermoduler af formen

{\displaystyle N_{0}\subsetneq N_{1}\subsetneq \cdots \subsetneq N_{n))

er lig med n , det vil sige, at vi tæller antallet af strenge inklusioner, og ikke antallet af undermoduler. Længden af et modul M er den længste kædelængde blandt alle kæderne i dets undermoduler. Hvis der ikke er nogen maksimal kædelængde, så er længden af M uendelig.

Eksempler

Det eneste modul med længde 0 er nulmodulet. Moduler med længde 1 kaldes simple .
For et endeligt-dimensionelt vektorrum er længden den samme som dimensionen.
Længden af en cyklisk gruppe er lig med antallet af faktorer i nedbrydningen af n til primtal . ${\mathbb Z}/n{\mathbb Z}$

Egenskaber

Et modul har begrænset længde, hvis og kun hvis det er artinisk og noetherisk .

Lade

0\rightarrow L\rightarrow M\rightarrow N\rightarrow 0

er en kort nøjagtig rækkefølge af moduler. I dette tilfælde har M en endelig længde, hvis og kun hvis L og N har en endelig længde, og længden af M er lig med summen af deres længder. Især er længden af den direkte sum af moduler lig med summen af komponenternes længder.

Litteratur

Steven H. Weintraub , Representation Theory of Finite Groups AMS (2003) - ISBN 0-8218-3222-0 , ISBN 978-0-8218-3222-6
Barile, Margherita. Modullængde hos Wolfram MathWorld .