Renormaliseringsgruppe

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 23. oktober 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Renormaliseringsgruppemetoden (også ofte kaldet renormaliseringsgruppemetoden , RG-metoden ) i kvantefeltteorien er en iterativ renormaliseringsmetode , hvor overgangen fra områder med lavere energi til områder med højere energi er forårsaget af en ændring i skalaen af hensyn til systemet.

I teoretisk fysik refererer renormaliseringsgruppemetoden (også renormaliseringsgruppemetoden , RG ) til et matematisk apparat , der tillader systematisk undersøgelse af ændringer i et fysisk system, når systemet betragtes på forskellige rumlige skalaer. I elementær partikelfysik afspejler det afhængigheden af vekselvirkningslovene af energiskalaen, hvor fysiske processer begynder at ændre sig.

Ændringen i skala kaldes "skalering" eller skalering . Renormaliseringsgruppen er tæt forbundet med " skala-invarians " og "konform invarians" af symmetri , hvor systemet ser ens ud på alle niveauer (såkaldt selv -lighed ) [1] . (Bemærk dog, at skaleringstransformationer er inkluderet i gruppen af konforme transformationer generelt: sidstnævnte inkluderer yderligere generatorer relateret til symmetrien af specielle konforme transformationer).

Når skalaen ændres, ændres vekselvirkningskraften også, som om forstørrelsen af et betinget mikroskop, som systemet ses under, ændres. I såkaldte renormaliserbare teorier vil et system i én skala typisk synes at være opbygget af selvlignende kopier, når det ses i en mindre skala, med forskellige parametre, der beskriver systemets komponenter. Komponenterne, eller grundlæggende variabler, kan relateres til atomer , elementarpartikler , atomspin osv. Teoriens parametre beskriver komponenternes interaktion. Det kan være variable forbindelsesparametre, som påvirkningen af forskellige kræfter eller masser afhænger af. Systemkomponenterne i sig selv kan vise sig at være sammensat af lignende komponenter, men mindre.

For eksempel i kvanteelektrodynamik (QED) ser elektronen ud til at være sammensat af elektroner, positroner og fotoner , når den ses med højere opløsning, over meget korte afstande. En elektron på så små afstande har en lidt anderledes elektrisk ladning end en "påklædt elektron" på store afstande, og denne ændring i elektrisk ladning bestemmes af renormaliseringsgruppeligningen.

Det er værd at bemærke, at der er dannet to forskellige tilgange til renormaliseringsgruppemetoden: Wilson - tilgangen og Bogolyubov- tilgangen . I det første tilfælde er renormaliseringsgruppen ikke en gruppe i streng matematisk forstand, da der ikke er noget omvendt element med hensyn til grupperenormaliseringsoperationen. Groft sagt kan vi betragte systemet som sammensat af de samme mindre systemer, men det betyder ikke, at det oprindelige "store" system opnås ved at blande "små". Dette er en konsekvens af det faktum, at når vi betragter systemer af mange kroppe, er vi interesserede i gennemsnitsværdier, og når der beregnes gennemsnit, går information relateret til samspillet mellem undersystemer tabt. I det andet tilfælde svarer renormaliseringsgruppen allerede fuldstændig til en gruppe i streng forstand. Disse tilgange adskiller sig i rækkefølgen af handlinger: I Wilson-tilgangen renormaliserer vi de mængder, der er involveret i handlingen og sætter derefter et gennemsnit af dem med det samme, mens vi i Bogolyubov-tilgangen først leder efter den grønnes funktioner og derefter renormaliserer dem.

Historie

Ideen om renormaliseringsgruppen blev oprindeligt udviklet inden for partikelfysik , men den er nu blevet udbredt i faststoffysik , væskedynamik , kosmologi og endda økonometri . Det første arbejde om dette emne blev skrevet af Stückelberg og Peterman i 1953. De bemærkede, at renormalisering danner en gruppe af transformationer. De introducerede h ( e )-funktionen i kvanteelektrodynamik, nu kaldet beta-funktionen (se nedenfor).

Murray Gell-Man og Francis Low blev i 1954 interesserede i ideen om at skalere transformationer i kvanteelektrodynamik, som er fysisk de mest betydningsfulde, og fokuserede på fotonudbredelsens asymptotiske adfærd ved høje energier. De bestemte variationerne af den elektromagnetiske interaktion i kvanteelektrodynamik ved at evaluere, hvor let det er at skalere strukturen af denne teori. Således fandt de ud af, at koblingsparameteren g (μ) på energiskalaen μ er beskrevet af gruppeligningen

g(\mu )=G^{-1}{\Big (}(\mu /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}

for en vis skaleringsfunktion G og en konstant d i form af en koblingsparameter g ( M ) afhængigt af referenceskalaen M.

Gell-Man og Low viste i disse resultater, at den effektive skala μ kan vælges vilkårligt og kan varieres for at definere teorien på enhver anden skala:

g(\varkappa )=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /\mu )^{d}G{\big (}g(\mu){\big)}{\Big )}=G^{-1}{\Big (}(\varkappa /M)^{d}G{\big (}g(M){\big )}{\Big )}.

Essensen af RG er gruppeegenskaben: afhængigt af skalaen μ ser teorien ud til at være sig selv-lignende, og teorien for enhver skala kan på samme måde opnås fra teorien for enhver anden ved hjælp af en gruppetransformation.

Betafunktionen blev introduceret af K. Callan og K. Symansik i begyndelsen af 1970'erne. Da beta-funktionen er en simpel funktion af g , giver integration af den forstyrrede beta-funktion over g os mulighed for i detaljer at beskrive renormaliseringsbanen for koblingsparameteren, det vil sige, at dens ændring med energi svarer til at betragte den effektive funktion G i denne forstyrrelse tilnærmelse. Forudsigelserne fra renormaliseringsgruppeteorien (Stueckelberg, Peterman og Gell-Mann, Low) blev bekræftet 40 år senere i eksperimenter ved LEP : finstrukturkonstanten for QED var omkring 1/127 ved energier omkring 200 GeV, i modsætning til værdi af lavenergifysik, lig med 1/137. (Tidlige anvendelser til kvanteelektrodynamik blev diskuteret i Nikolai Bogolyubov og Dmitri Shirkovs skelsættende bog fra 1959).

Renormaliseringsgruppen opnås ved at renormalisere kvantefeltvariablerne, hvilket som regel fjerner problemet med divergenser i kvantefeltteorien (selvom RG eksisterer uafhængigt af divergenser). Dette problem med systematisk at undgå uendeligheder i kvantefeltteori for at opnå endelige fysiske størrelser blev løst for QED af Feynman , Schwinger og Tomonaga , som modtog 1965 Nobelprisen for bidrag til kvantefeltteori. De udviklede en teori om masse- og ladningsrenormalisering, hvor uendelighed i momentumrepræsentationen overføres til en stor regularisator Λ (som i sidste ende kan betragtes som uendelig - uendelighed afspejler akkumuleringen af bidrag fra et uendeligt antal frihedsgrader på en uendelig stor energiskala). Afhængigheden af fysiske størrelser, såsom den elektriske ladning eller masse af en elektron, er skjult på skalaen Λ, som er erstattet af en skala over store afstande, hvor de fysiske størrelser er målbare og som en konsekvens alle observerbare mængder er endelige selv for uendelige Λ. Gell-Man og Low viste, at den lille ændring i g givet af ovenstående RG-ligning er givet af funktionen ψ( g ); selvlighed kommer til udtryk i, at ψ( g ) eksplicit kun afhænger af teoriens parametre, og ikke af skalaen μ. Derfor kan ovenstående RG-ligning løses for g (μ).

En dybere forståelse af den fysiske betydning og generalisering af renormaliseringsmetoden, som går ud over udvidelsen af gruppen af almindelige renormaliserbare teorier, kom fra fysik af kondenseret stof. Leo Kadanov foreslog i et papir fra 1966 "blok-spin"-renormaliseringsgruppen. Ideen om at blokere er en måde at definere komponenterne i en teori på store afstande som en samling af komponenter på små afstande.

Denne tilgang blev brugt til at løse det langvarige Kondo-problem og beskrive overgange af den anden slags af Kenneth Wilson. Han blev tildelt Nobelprisen i 1982 for "teorien om kritiske fænomener i forbindelse med faseovergange".

I mellemtiden blev RG i elementær partikelfysik omformuleret af K. Callan og K. Symansik i 1970. Betafunktionen nævnt ovenfor, som beskriver de løbende koblingskonstanter med en ændring i skalaparameteren, viste sig også at være lig med værdien af den "kanoniske sporanomali", som er en kvantemekanisk skalabrud i feltteori. Anvendelsen af RG til partikelfysik førte i 1970'erne til skabelsen af standardmodellen.

I 1973 blev teorien om interagerende farvekvarker , kaldet kvantekromodynamik , fundet at have en negativ beta-funktion . Dette betyder, at startværdien af højenergikoblingsparameteren vil føre til fremkomsten af et enkelt punkt μ, hvor koblingsparameteren stiger kraftigt (divergerer). Denne særlige værdi er skalaen for den stærke interaktion, μ = Λ QCD, og forekommer ved en energi på omkring 200 MeV. Omvendt bliver bindingen svag ved meget høje energier (asymptotisk frihed), og kvarker bliver observerbare som punktpartikler. Således blev QCD opnået som en kvantefeltteori, der beskriver den stærke interaktion mellem partikler.

RG i momentumrum er også blevet et højt udviklet værktøj i faststoffysik, men dets succes er blevet hæmmet af den udbredte brug af forstyrrelsesteori, som har forhindret succes i teorien om stærkt korrelerede systemer. For at studere stærkt korrelerede systemer viste variationsprincippet sig at være det bedste alternativ. I 1980'erne blev adskillige RG-teknikker udviklet til applikationer i det virkelige rum, hvor Density Matrix Renormalization Group (DMRG) metoden udviklet af C. R. White og R. M. Noack i 1992 var den mest succesrige.

Konform symmetri er forbundet med forsvinden af beta-funktionen. Dette kan ske, hvis koblingskonstanten tiltrækkes til et fast punkt, hvor β( g ) = 0. I QCD optræder det fikserede punkt på små afstande, hvor g → 0, og kaldes det (trivielle) ultraviolette fikspunkt. For tunge kvarker, såsom topkvarken , er det blevet beregnet, at bindingen med den massegivende Higgs-boson har en tendens til et fast infrarødt fast punkt, der ikke er nul.

Et eksempel på en beregning i henhold til Wilson-skemaet

Lad os overveje teorien i det euklidiske d - dimensionelle rum . Lad os blive enige om at bruge de samme betegnelser for funktioner og deres Fourier-transformationer , idet vi kun ændrer argumentet for funktionen: x for koordinatrepræsentationen, p for impulsrepræsentationen. Ved optagelse af integraler bruges koordinatrepræsentationen. Lagrangianen i denne teori er skrevet som $\phi^4$

{\mathcal {L}}(\phi )={\frac {m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _ {\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4}.

Partitionsfunktionen er i dette tilfælde repræsenteret som et funktionelt integral

Z=\int {\mathcal {D}}\phi \exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2}}{2}}\ phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda }{4!)}}\phi ^{4 } \right)\right].

Det er kendt, at i en renormaliserbar kvanteteori påvirker frihedsgrader med energi processer med energi ~ M kun indirekte: gennem renormalisering af teorikonstanterne. Derfor er det tilrådeligt at "afskære" impulsen med en vis værdi : $\Lambda \gg M$ $\lambda$

[D\phi ]_{\Lambda }=\prod _{|p|<\Lambda }d\phi (p)

Så kan den regulariserede partitionsfunktion skrives som

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{\Lambda }\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac { m^{2}}{2}}\phi ^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )^{2}+{\frac {\lambda } {4!}}\phi ^{4}\right)\right].

Vi opdeler integrationsvariablerne i to grupper ( ): $0<b<1$

{\hat {\phi }}(p)={\begin{cases}\phi (p),&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\0,&|p|<b\ Lambda .\end{cases}}

\phi (p)={\begin{cases}0,&b\Lambda \leqslant |p|<\Lambda ,\\\phi (p),&|p|<b\Lambda .\end{cases }}

Og erstat i udtrykket den regulariserede partitionsfunktion:

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[ -\int d^{(d)}x\venstre({\frac {m^{2}}{2}}(\phi +{\hat {\phi}})^{2}+{\frac { 1}{2}}(\partial _{\mu }\phi +\partial _{\mu}{\hat {\phi }})^{2}+{\frac {\lambda }{4!)} } (\phi +{\hat {\phi )))^{4}\right)\right].

Vi åbner parenteserne og omgrupperer termerne, idet vi tager højde for, at bidragene fra forsvinder på grund af Fourier-transformationernes egenskaber (før vi tager handlingsintegralet, er det værd at gå videre til momentumrummet) og vores definition af funktionerne og i momentum form. $\phi {\hat {\phi ))$ $\phi$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }e^{-\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}( \phi )}\int {\mathcal {D}}{\hat {\phi }}\exp \left[-\int d^{(d)}x\left({\frac {m^{2)) {2}}{\hat {\phi }}^{2}+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }{\hat {\phi }})^{2}+\ lambda ({\frac {1}{6}}\phi ^{3}{\hat {\phi }}+{\frac {1}{4}}\phi ^{2}{\hat {\phi} }^{2}+{\frac {1}{6}}\phi {\hat {\phi }}^{3}+{\frac {1}{4!)}}{\hat {\phi } } ^{4})\right)\right].

Her har Lagrangian den samme form som den oprindelige Lagrangian. Lad os integrere over feltet : ${\mathcal {L}}(\phi )$ ${\hat {\phi ))$

Z=\int \left[{\mathcal {D}}\phi \right]_{b\Lambda }\exp {\left[-\int d^{(d)}x{\mathcal {L }}_{\text{eff}}(\phi )\right]},

hvor adskiller sig fra ved korrektioner, der er proportionale med potenser og deres afledte. Rettelser kan præsenteres i diagramform. Lad os studere den resulterende effektive handling ved renormaliseringsgruppemetoden. For at gøre dette ændrer vi skalaen for afstande og impulser i henhold til reglen . ${\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ ${\mathcal {L}}(\phi )$ $\lambda ,\phi$ $\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )$ $x'=bx,\ p'=p/b,\ |p|<\Lambda$

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'b^{-d} \left[{\frac {1}{2}}(1+\Delta Z)b^{2}(\partial '_{\mu }\phi )^{2}+{\frac {1}{2 }}(m^{2}+\Delta m^{2})\phi ^{2}+{\frac {1}{4!}}(\lambda +\Delta \lambda )\phi ^{4} +\Delta Bb^{4}(\partial '_{\mu }\phi )^{4}+\Delta C\phi ^{6}+\ldots \right].

Lad os foretage erstatninger, hvor handlingen vil tage sin oprindelige form:

\phi '=[b^{(2-d)}(1+\Delta Z)]^{1/2}\cdot \phi ,

m'^{2}=(1+\Delta Z)^{-1}(m^{2}+\Delta m^{2})b^{-2},

\lambda '=(1+\Delta Z)^{-2}(\lambda +\Delta \lambda )b^{d-4},

B'=(1+\Delta Z)^{-2}(B+\Delta B)b^{d},

C'=(1+\Delta Z)^{-3}(C+\Delta C)b^{2d-6}.

følgelig

\int d^{(d)}x{\mathcal {L}}_{\text{eff}}(\phi )=\int d^{(d)}x'\venstre[{\frac {1}{2}}(\partial '_{\mu }\phi ')^{2}+{\frac {1}{2}}m'^{2}\phi '^{2}+{ \frac {1}{4!}}\lambda '\phi ^{4}+\Delta B(\partial '_{\mu }\phi ')^{4}+\Delta C'\phi '^{ 6}+\ldots\right].

Som du kan se, er afhængigheden af dimensionen blevet overført til modelparametrene. Lad os analysere dem. I et lille kvarter af det faste punkt kan intervaller af parametre ignoreres . I statistisk fysik svarer dette til at betragte dynamikken i et system nær et kritisk punkt. $\Delta m^{2},\Delta Z,\Delta \lambda$

m'^{2}=m^{2}b^{-2},\ \lambda '=\lambda b^{d-4},\ B'=Bb^{d},\ C' =Cb^{2d-6}.

Siden vokser parametrene, der ganges med negative potenser , og omvendt. $b<1$ $b$

De modelparametre, der stiger under den beskrevne procedure, kaldes væsentlige .
De modelparametre, der reduceres ved den beskrevne procedure, kaldes insignifikante .
Modelparametre, der ikke ændres under den beskrevne procedure, kaldes marginale .

Det er indlysende, at de sidste to parametre er uvæsentlige, og teorien på er renormaliserbar. Dette billede er selvfølgelig gyldigt, så længe masseoperatøren ikke bliver dominerende. $\phi^4$ $d=4$

Renormaliseringsgruppe i faststoffysik

I faststoffysik bruges renormaliseringsgruppen til at bygge matematiske modeller af faseovergange. Lad os udvide energitilvæksten i en Taylor-serie afhængigt af den lokale magnetisering . I det kritiske område spiller koefficienten b en vigtig rolle, fordi a har en tendens til nul. Den lokale magnetisering udvides i en Fourier-række som summen af et uendeligt antal sinusbølger med forskellige bølgevektorer og frekvenser. Kvanter af magnetiseringsbølger kaldes fluktuoner . Ligesom fotoner af lysbølger har fluktuoner energi og momentum . Fluktuationer i en ferromagnet interagerer ved at sprede sig på hinanden. Det er praktisk at beregne fluktuonspredningsprocesser ved hjælp af Feynman-diagrammer . I disse diagrammer svarer linjerne til bevægelige partikler (fluktuoner), og punkterne svarer til deres kollisioner. Den reelle kraft af vekselvirkning af fluktuationer kaldes den effektive koblingskonstant g. Vi skærer Feynman-diagrammet over to-til-to spredningsprocesser på det sted, hvor to mellemliggende partikler passerer. Lad os til højre overveje alle mulige blokke, der skildrer to-til-to spredningsprocesser. Efter summering er højre side summen med et uendeligt antal led, der repræsenterer konstanten g. Lad os til venstre overveje alle mulige blokke, der skildrer to-til-to spredningsprocesser. Efter summeringen er venstre side summen med et uendeligt antal led, der repræsenterer konstanten g. Som et resultat, i stedet for et uendeligt sæt af udtryk, som hver især afhænger af koblingskonstanten b, kommer vi frem til et led afhængigt af konstanten g. Denne procedure med at erstatte en koblingskonstant med en anden kaldes renormalisering. Renormaliseringsgruppemetoden gør det muligt at forklare typen af kritiske asymptotiks uafhængighed fra faseovergangens materielle og fysiske natur. $\Delta E=a{\bar {m^{2}}}+b{\bar {m^{4}}}$ $\omega$ $\hbar {\bar {k))$

Renormaliseringsgruppe i statistisk fysik

Renormaliseringsgruppemetoden er et generelt anerkendt værktøj til at studere andenordens faseovergange og kritiske fænomener. Problemer med statistisk fysik omfatter problemer med et uendeligt antal frihedsgrader. For eksempel: problemer med teorien om kritisk adfærd eller stokastisk dynamik med tidsafhængige klassiske tilfældige felter. Derfor er systemet givet af en uendelig familie af Greens funktioner. Som regel er der ingen nøjagtig løsning på sådanne problemer. Derfor er vi nødt til at tale om asymptotik i domæner. RG-teknikken vil blot vise eksistensen af den tilsvarende skalering. Og hvis den eksisterer, vil vi få eksplicitte formler til beregning af kritiske eksponenter gennem ε-udvidelsen ( d = 4 − ε). Kritiske eksponenter beskriver anomalier i forskellige termodynamiske egenskaber af systemet i fluktuationsområdet, det vil sige i nærheden af faseovergangspunktet.

Det vil sige, at RG-teknikken er en metode til at beregne asymptotikken for Greenens funktion i området med store (UV) og små (IR) momenta. Vi betragter ikke-trivielle asymptotik: der er udtryk for forstyrrelsesrækken med en singularitet i momenta. I sådanne tilfælde er det således ikke nok for os at summere et stykke af serien. Det er nødvendigt at summere hele serien. Sådanne operationer udføres ved hjælp af RG-teknik. Som et resultat får vi en lineær partiel differentialligning for den grønnes funktion. Men som sagt tidligere har vi to områder. Og den resulterende løsning er kun korrekt i en af dem. Hvordan kan vi finde dette anvendelsesområde? Overvej β-funktionen, koefficienten for den afledede i RG-operatoren. Det plejer at se ud $\partial _{g}$

\beta (g)=\alpha g+\beta g^{2}+\gamma g^{3}+\delta g^{4}+\epsilon g^{5}+\phi g^{6 }\ldots ,

\beta (g^{*})=0\quad \Rightarrow \quad g^{*}

er et fast punkt.

Der eksisterer altid en triviel løsning g * = 0. Alt efter adfærden af funktionen β( g ) i nærheden af g * = 0 skelnes de UV-attraktive og IR-attraktive fikspunkter.

Det er også værd at nævne universaliteten og lighedshypotesen.

Systemer tilhører samme klasse, hvis de kritiske eksponenter og normaliserede skaleringsfunktioner for disse systemer falder sammen. For eksempel hører systemerne "gas-væske overgang" og "ferromagneter" til samme klasse.
Lighedshypotesen er, at asymptotikken af de termodynamiske funktioner af interesse for os i nærheden af det kritiske punkt har egenskaben homogenitet.

Overvej RG-analyseskemaet for enhver model.

Det er værd at gentage, at opgaven med RG-analyse er at retfærdiggøre kritisk skalering og beregne kritiske indekser. Vi er interesserede i interessante resultater, der ikke afhænger af den endelige renormaliserings vilkårlighed. Dernæst vil vi blot overveje beregningsskemaet.

Bestemmelsen af dimensionerne af alle mængder i den funktionelle handling og afvisningen af IR er ubetydelige i sammenligning med hovedinteraktionen.
Bestemmelse af divergenserne af diagrammerne for alle 1-irreducerbare funktioner (for d = d * ) og strukturerne af de nødvendige modled.
At opnå RG-ligninger for renormaliserede objekter og formler, der udtrykker RG-funktioner i form af renormaliseringskonstanter Z .
Beregning ud fra diagrammer af renormaliseringskonstanter Z i form af initiale segmenter af serier i ladning g .
Beregning af RG-funktionerne β og γ i form af indledende segmenter af serier i g ved hjælp af formler, der udtrykker dem i form af Z . β er funktioner af alle ladninger, γ er unormale dimensioner.
Beregning med β-funktioner af koordinaterne for fikspunkter g * og de tilsvarende indekser ω i form af initiale segmenter af ε-udvidelsen. Hvis der ikke er nogen IR-stabile punkter blandt g * punkter, vil der ikke være nogen kritisk skalering. Hvis der er sådanne punkter, så tager vi det næste skridt.
For hver g * γ( g * ) og de tilsvarende kritiske eksponenter beregnes. I komplekse modeller er det muligt at beregne 1-2 ordener af ε-udvidelsen af indekser og forstå det generelle billede af adfærden af fasebaner.
Beregning af de indledende segmenter af ε-udvidelsen af forskellige skaleringsfunktioner.
Analyse af deres singulariteter uden for rammerne af ε-udvidelsen ved hjælp af RG-teknikken og Wilsons operatørudvidelse.
Analyse af renormalisering og beregning af kritiske dimensioner af forskellige systemer af sammensatte operatører.

Se også

Noter

↑ Bogolyubov N. N. , Shirkov D. V. Renormaliseringsgruppe? Det er meget enkelt // Naturen . - 1984, nr. 8. - S. 3-13.