Reflekterende underkategori

I matematik siges en underkategori A af en kategori B at være reflekterende, hvis den indlejrende funktion af A i B har en venstre adjoint . Denne tilstødende funktion kaldes ofte for en reflektor . Den dobbelte definition er A co-reflektiv, hvis indlejringsfunktionen har en højre adjoint.

Eksplicit definition

En underkategori A af en kategori B siges at være reflekterende i B, hvis der for hvert objekt B i kategori B eksisterer et objekt af kategori A og en B - morfisme , således at der for enhver B - morfisme er en unik A -morfisme sådan at : $A_{B}$ $r_{B}\colon B\to A_{B}$ $f\colon B\to A$ ${\overline {f}}\colon A_{B}\to A$ ${\overline {f}}\circ r_{B}=f$

Parret kaldes A-reflektor B . Morfismen kaldes den A-reflekterende pil. $(A_{B},r_{B})$ $r_{B}$

Eksempler

Algebra

Kategorien af Abelske grupper Ab er en reflekterende underkategori af kategorien af grupper Grp . Reflektoren er en funktion, der sender hver gruppe til sin abelianisering . Til gengæld er kategorien af grupper en reflekterende underkategori af kategorien af semigrupper med division.
Kategorien af felter er en reflekterende underkategori af kategorien af integrerede ringe (med injektiv ringhomomorfismer). Reflektoren er en funktion, der sender en ring ind i sit kvotientfelt .
Kategorien af Abelske torsionsgrupper er en co-reflekterende underkategori af kategorien Abelske grupper . Reflektoren sender en abelsk gruppe til dens torsionsundergruppe .
Kategorien af vektorrum over et givet felt k er en reflekterende underkategori af kategorien af mængder. Reflektoren er en funktion, der sender mængden B til det frie vektorrum, der genereres af elementerne i B over k .

Topologi

Kolmogorov-rum (T 0 -rum) er en reflekterende underkategori af Top , kategorien af topologiske rum , og Kolmogorov-faktoren er en reflektor.
Kategorien af kompakte Hausdorff - rum er en reflekterende underkategori af topologiske rum med Tikhonovs aksiom. Reflektor - Stone-Cech komprimering .
Kategorien af komplette metriske rum med ensartet kontinuerlige afbildninger er en afspejlende komplet underkategori af kategorien af metriske rum. Reflektoren er færdiggørelsen af det metriske rum .

Funktionsanalyse

Kategorien af Banach-rum er en reflekterende fuld underkategori af kategorien af normerede rum og afgrænsede lineære operatorer . Reflektor - genopfyldning efter normen.

Noter

Adámek, Jiří; Horst Herrlich, George E. Strecker. Abstrakte og konkrete kategorier (neopr.) . — New York: John Wiley & Sons , 1990.
Peter Freyd, Andre Scedrov. Kategorier, Allegorier (ubestemt) . - North-Holland , 1990. - (Matematisk Bibliotek Vol 39). - ISBN 978-0-444-70368-2 .
Herrlich, Horst. Topologische Reflexionen und Coreflexionen (neopr.) . — Berlin: Springer , 1968.
Mark V. Lawson. Inverse semigrupper: teorien om partielle symmetrier . - World Scientific , 1998. - ISBN 978-981-02-3316-7 .