Singular punkt (differentialligninger)

I matematik er et enkeltpunkt i et vektorfelt det punkt, hvor vektorfeltet er lig med nul. Vektorfeltets singularpunkt er ligevægtspositionen eller hvilepunktet for det dynamiske system defineret af det givne vektorfelt: fasebanen med oprindelse i singularpunktet består nøjagtigt af dette singularpunkt, og integralkurven svarende til det er en ret linje parallel med tidsaksen.

I ethvert lille kvarter af faserummet, der ikke indeholder entalspunkter, kan vektorfeltet udrettes ved en passende ændring af koordinaterne - således er opførselen af ​​systemet uden for entalspunkterne den samme og meget enkel. Tværtimod, i nærheden af ​​et enkelt punkt kan systemet have meget kompleks dynamik. Når man taler om egenskaberne for entalspunkter i vektorfelter, mener man normalt egenskaberne for det tilsvarende system i et lille kvarter til det entalspunkt.

Enkelte punkter af vektorfelter på planet

De enkleste eksempler på entalspunkter er entalspunkterne for lineære vektorfelter i planet. Med konceptet om et vektorfelt på et plan kan man associere et lineært system af differentialligninger af formen:

,

hvor  er et punkt på planet,  er matrixen . Det er klart, at punktet i tilfælde af en ikke-singular matrix er det eneste enestående punkt i en sådan ligning.

Afhængigt af matricens egenværdier er der fire typer ikke-degenererede entalspunkter i lineære systemer: knude, sadel, fokus, center.

Se også

• Poincarés vektorfeltsætning