IEEE 754-2008

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. august 2019; checks kræver 22 redigeringer .

IEEE 754 ( IEC 60559) er en meget brugt IEEE -standard , der beskriver et format til repræsentation af flydende kommatal . Det bruges i software ( kompilere af forskellige programmeringssprog ) og hardware ( CPU og FPU ) implementeringer af aritmetiske operationer (matematiske operationer).

Standarden beskriver:

• talformat med flydende komma : mantisse , eksponent (eksponent), taltegn;
• repræsentation af positivt og negativt nul , positiv og negativ uendelighed , samt ikke -tal ( engelsk  Not-a-Number, NaN );
• metoder, der bruges til at konvertere et tal, når der udføres matematiske operationer;
• undtagelser: division med nul , overløb , underløb , arbejde med denormaliserede tal og andre;
• operationer: aritmetik og andre.

2008-standarden erstatter IEEE 754-1985 . Den nye standard omfatter binære formater fra den tidligere standard og tre nye formater. Ifølge den gældende standard skal en implementering understøtte mindst et af grundformaterne samt det aritmetiske format og udvekslingsformatet.

Liste over standarder:

• IEEE 754-1985;
• IEEE 754-2008.

Udvikling af standarden

Den nuværende version af IEEE 754-2008 blev offentliggjort i 2008. Det supplerer og erstatter den tidligere version af IEEE 754-1985 , skrevet af Dan Zuras og redigeret af Mike Coulishaw..

Den internationale standard ISO/IEC/IEEE 60559:2011 (med identisk IEEE 754-2008) er blevet godkendt og offentliggjort for JTC1 /SC 25 under ISO/IEEE PSDO-aftalen.

De binære formater i den oprindelige standard er inkluderet i den nye standard sammen med tre nye basisformater (et binært og to decimaler). For at overholde den nuværende standard skal en implementering implementere mindst et af de grundlæggende formater.

Fra september 2015 er standarden ved at blive revideret til at omfatte præciseringer.

Formater

IEEE 754-formatet er "et sæt af repræsentationer af numeriske værdier og tegn". Formatet kan også omfatte en kodningsmetode.

Formatet omfatter:

• Tal, der kan betragtes i binær eller decimal notation. Et reelt tal er repræsenteret af tre heltal , og , hvor er tegnet (0 for positiv og 1 for negativ), er mantissen (koefficient), er eksponenten . For givne heltal , og værdien af ​​det tilsvarende reelle tal er: , hvor er basen (2 eller 10). For eksempel definerer et tal med base , fortegn bit (tallet er negativt), mantisse og eksponent et tal .

• Positivt nul og negativt nul .
• To uendeligheder: og .
• To slags NaN : stille NaN (qNaN) og signalerende NaN (sNaN). NaN kan bære en nyttelast beregnet til diagnostisk information, der angiver kilden, der forårsagede NaN. Tegnet på NaN har ingen betydning, men kan være forudsigeligt i nogle tilfælde.

De mulige endelige værdier, der kan repræsenteres i formatet, bestemmes af basen , antallet af tegn i mantissen (med præcision ) og den maksimale værdi :

• skal være et heltal i området nul til (hvis og derefter c kan være fra til )
• skal være et heltal, så (hvis og , så kan være fra til ).

Derfor (for det foregående eksempel) er det mindste ikke-nul positive tal, der kan repræsenteres , og det største er ( ), såvel som hele rækken af ​​tal fra til . Tallene og ( og ) er de mindste (i absolut værdi) normale tal; ikke-nul tal mellem disse mindste tal kaldes subnormale .

Repræsentation og kodning i hukommelsen

Nogle tal kan have flere repræsentationer i det format, som de lige blev beskrevet i. For eksempel, hvis og , så kan tallet repræsenteres som: , eller .

For decimalformater er enhver repræsentation gyldig, og samlingen af ​​disse repræsentationer kaldes kohorter . Når et resultat kan have flere repræsentationer, bestemmer standarden, hvilken der vælges af et medlem af kohorten.

For binære formater gøres repræsentationen unik ved at vælge den mindste repræsentative eksponent. For tal med en eksponent i normalområdet (ikke dem alle eller alle nuller), vil den indledende bit af mantissen altid være 1. Derfor kan den indledende 1 bit være underforstået i stedet for at lagres eksplicit i hukommelsen. Denne regel kaldes den førende bit-konvention eller skjult bit-konvention. Reglen giver dig mulighed for at gemme 1 bit hukommelse for at få en smule præcision mere. Den førende bit i konventionen bruges ikke til subnormale tal; deres hastighed er uden for det normale værdiområde.

Grundlæggende og udskiftelige formater

Standarden definerer fem grundlæggende formater, som er navngivet efter deres talbase og antallet af bit, der bruges i deres kodning. Der er tre grundlæggende binære flydende decimalformater (kodet med 32, 64 eller 128 bit) og to decimale flydende decimalformater (kodet med 64 eller 128 bit). Formaterne binary32 og binary64 er IEEE 754-1985 enkelt- og binære formater. En overensstemmende implementering skal fuldt ud implementere mindst et af de grundlæggende formater.

Standarden definerer også udvekslingsformater, der generaliserer disse grundlæggende formater. Binære dem kræver en aftale med de førende bits. Tabellen viser de mindste udvekslingsformater (inklusive grundlæggende).

Navn	Fuld titel	Grundlag	Antal binære cifre i mantissen	Antal decimaler	Eksponent (bit)	Decimal Emax	Eksponentiel offset [1]	Emin	Emax	Noter
binær16	halv præcision	2	elleve	3,31	5	4,51	2 4 −1 = 15	−14	+15	Ikke mainstream
binær32	enkelt præcision	2	24	7.22	otte	38,23	2 7 −1 = 127	−126	+127
binær64	dobbelt præcision	2	53	15,95	elleve	307,95	2 10 −1 = 1023	−1022	+1023
binær128	Firedobbelt nøjagtighed	2	113	34.02	femten	4931,77	2 14 −1 = 16383	−16382	+16383
binær256	8x nøjagtighed	2	237	71,34	19	78913.2	2 18 −1 = 262143	−262142	+262143	Ikke mainstream
decimal 32		ti	7	7	7,58	96	101	−95	+96	Ikke mainstream
decimal 64		ti	16	16	9,58	384	398	-383	+384
decimal 128		ti	34	34	13,58	6144	6176	−6143	+6144

Bemærk venligst, at i tabellen ovenfor er minimumsværdierne for almindelige tal. Den særlige repræsentation af subnormale tal gør det muligt at repræsentere endnu mindre tal (med et vist tab af præcision). For eksempel er det mindste dobbelte præcisionstal større end nul, der kan repræsenteres i denne form, 2 − 1074 (fordi 1074 = 1022 + 53 − 1).

Decimalværdien er værdien  × log 10 base , som giver den omtrentlige præcision i decimal.

Decimal E max er emax  × log 10 base, dette giver den maksimale effekt i decimal.

Som tidligere nævnt er binary32 og binary64 formaterne identiske med IEEE 754-1985 formaterne og er de to mest almindelige formater i brug i dag. Figuren til højre viser den absolutte præcision for formaterne binary32 og binary64, der spænder fra 10 −12 til 10 12 . En sådan indikator kan bruges til at vælge det passende format, givet den forventede værdi af tallet og den nødvendige præcision.

Udvidede og udvidelige præcisionsformater

Standarden definerer også udvidede og udvidelige præcisionsformater, der anbefales for større præcision end basisformaterne. Det udvidede præcisionsformat udvider basisformatet ved at bruge højere præcision og et bredere eksponentområde. Det avancerede præcisionsformat giver brugeren mulighed for at specificere en række præcision og eksponenter. En implementering kan bruge enhver intern repræsentation, den vælger til sådanne formater. Det eneste, der skal specificeres, er parametrene b, p og emax. Disse parametre beskriver entydigt det sæt af endelige tal (kombinationer af fortegn og eksponent for en given base), som det kan repræsentere.

Standarden kræver ikke en implementering for at understøtte udvidede eller udvidelige præcise formater.

Standarden anbefaler, at sprog giver en metode til at specificere værdierne af p og emax for hver understøttet base b.

Standarden anbefaler, at sprog og implementeringer understøtter et udvidet format, der har højere præcision end det største basisformat, der understøttes for hver base b.

For et udvidet format med præcision mellem to basisformater skal eksponentområdet være lige så stort som det næste bredere basisformat. Så for eksempel skal et 64-bit udvidet præcisions binært tal have en emax -værdi på mindst 16383.

Udvekslingsformater

Udvekslingsformaterne er designet til at udveksle data med flydende komma ved hjælp af en bitstreng med fast længde.

Til udveksling af binære flydende kommatal defineres udvekslingsformater med længden 16 bit, 32 bit, 64 bit og et hvilket som helst multiplum af 32 bit ≥128. 16-bit formatet er beregnet til udveksling eller lagring af små tal (for eksempel til grafik eller neurale netværksberegninger).

Kodningsskemaet for disse binære udvekslingsformater er det samme som for IEEE 754-1985: en fortegnsbit efterfulgt af indekser, der beskriver eksponentforskydningen, og p-1 bits, der beskriver værdien. Eksponentfeltbredden for k-bit formatet beregnes som w  = round(4 log 2 ( k ))−13. De eksisterende 64 og 128 bit formater følger denne regel, men 16 og 32 bit formaterne har flere power bits (henholdsvis 5 og 8 bits), end denne formel giver (henholdsvis 3 og 7 bits).

Som med IEEE 754-1985 er der en vis fleksibilitet i NaN-kodning.

Til udveksling af decimaltal med flydende decimal er udvekslingsformater defineret for et hvilket som helst multiplum af 32 bit.

Afrundingsregler

Standarden definerer fem afrundingsregler. De to første regler runder af til nærmeste værdi, de andre kaldes retningsrunder.

Afrunding til nærmeste

• Afrunding til nærmeste (binding "til lige"). Hvis de to nærmeste flydende kommatal er lige tæt på hinanden, skal tallet med det lige laveste ciffer opnås. Dette er standard for binært flydende komma og den anbefalede standard for decimal.
• Afrunding til nærmeste ("til uendelig" binding). Hvis de to nærmeste flydende kommatal er lige tæt på hinanden, skal der opnås et tal med et større modul.

Retningsbestemt afrunding

• Rund-til-0 - rettet afrunding til nul (også kendt som trunkering).
• Rund til +∞ - Retningsbestemt afrunding til positiv uendelig (også kendt som rund op eller loft).
• Afrund til - ∞ - retningsbestemt afrunding til negativ uendelig (også kendt som rund ned eller gulv).

Eksempel på afrunding til heltal

Mode / Eksempel	+11,5	+12,5	−11.5	−12.5
til nærmeste (bindende til lige)	+12,0	+12,0	−12,0	−12,0
til nærmeste (snap til uendeligt)	+12,0	+13,0	−12,0	−13,0
til 0	+11,0	+12,0	−11,0	−12,0
til + ∞	+12,0	+13,0	−11,0	−12,0
til - ∞	+11,0	+12,0	−12,0	−13,0

Nødvendige handlinger

Nødvendige handlinger for et understøttet aritmetisk format (inklusive basisformater) omfatter:

• Aritmetiske operationer (addition, subtraktion, multiplikation, division, kvadratrod, sammenlægning af multiple multiplikationer, rest)
• Konverteringer (mellem formater, strenge osv.)
• Skalering og kvantisering (til decimal)
• Kopiering og manipulation af tegn (nægtelse osv.)
• Sammenligning og generel orden
• Klassificering og test (for NaN osv.)
• Test og installer flag
• Andre operationer

Generelt prædikat

Standarden giver et totalOrder-prædikat, der definerer den samlede rækkefølge for alle flydende kommatal for hvert format. Prædikatet stemmer overens med de sædvanlige sammenligningsoperationer. Normale sammenligningsoperationer behandler imidlertid NaN'er som uordnede og sammenligner -0 og +0 som ens. TotalOrder-prædikatet vil sortere disse tilfælde og også skelne mellem forskellige repræsentationer af NaN for det samme flydende kommanummer kodet på forskellige måder.

Se også

• Halvt præcisionstal
• Enkelt præcisionsnummer
• Dobbelt præcisionstal
• Firedobbelt tal
• bfloat16 format(alternativt 16-bit format, lav præcision, men let konverteret fra enkelte præcisionstal)
• interval aritmetik

Noter

1. ↑ Cowlishaw, Mike Decimal Arithmetic Encodings . IBM. Hentet 6. august 2015. Arkiveret fra originalen 8. februar 2016. (ubestemt)

Links

• 754-2019 - IEEE-standard for flydende punkt-aritmetik. Revision af IEEE Std 754-2008 // ieeexplore.ieee.org, ISBN: 2019 978-1-5044-5924-2, doi:10.1109/IEEEESTD.2019.8766229  (betalt)
• 754-2008 - IEEE-standard for flydende punkt-aritmetik. Revision af ANSI/IEEE Std 754-1985 // ieeexplore.ieee.org, 2008 ISBN 978-0-7381-5752-8 , doi:10.1109/IEEEESTD.2008.4610935  (betalt)
• Yashkardin V. L. IEEE 754 - en standard for binær aritmetik med flydende komma . SoftElectro (2009). (ubestemt)
• IEEE 754 konverter
• IEEE754 online binær til decimalkonverter

IEEE standarder
Nuværende	488 CAMAC 575 583 595 596 675 683 726 758 696 754 854 Multibus 796 1296 Programmer 730 828 829 1012 1016 1058 1063 fremtidige bus 896 1156 1194 1301 960 1003 1014 1076 1101 1149,1 1155 1164 1196 1275 1278 1284 1355 1394 1451 1471 1497 1516 1541-2002 1547 1584 1588 1596 1603 1613 1666 1667 1675 1685 1722 1733 1788 1800 1801 1815 1850 1900.4 1901 1902 1904.1 1905 2030 2050 11073 12207 14764 16085 16326 29148 42010
Serie 802	802.1 D s Q Qat Qay w x ab annonce AE ag Ah ak aq SOM økse az BA 802,3 -1983 -en b d e jeg j u x y z ab ac annonce ae af Ah ak en aq på av az ba bt ved 802.11 tilstand -en b c d e f g h jeg j k n s r s u v w y ac annonce af Ah ai økse ay være .2 .fire .5 .6 .7 .otte .9 .ti .12 .fjorten .femten .en .fire .4a .6 .7 .16 Original d e .17 .atten .tyve .21 .22
P-serien	P959 P1363 P1619 P1699 P1823 P1906.1
Erstattet	754-1985 830 1219 1233 1362 1364 1471
Kategori:IEEE-standarder