Uafhængighed (sandsynlighedsteori)

I sandsynlighedsteori kaldes to tilfældige begivenheder uafhængige , hvis forekomsten af den ene af dem ikke ændrer sandsynligheden for forekomsten af den anden. Tilsvarende kaldes to stokastiske variable uafhængige , hvis den kendte værdi af den ene af dem ikke giver information om den anden.

Uafhængige begivenheder

Vi vil antage, at vi får et fast sandsynlighedsrum . $(\Omega ,\;{\mathcal {F}),\;\mathbb {P} )$

Definition 1. To begivenheder er uafhængige if $A,B\in {\mathcal {F}}$

forekomsten af en begivenhed ændrer ikke sandsynligheden for, at begivenheden indtræffer .

EN

B

Bemærkning 1. I tilfælde af at sandsynligheden for en hændelse, f.eks . er ikke-nul, dvs. definitionen af uafhængighed svarer til: $B$ $\mathbb {P} (B)>0$

\mathbb {P} (A\midt B)=\mathbb {P} (A),

det vil sige, at den betingede sandsynlighed for begivenheden under betingelsen er lig med den ubetingede sandsynlighed for begivenheden . $EN$ $B$ $EN$

Definition 2. Lad der være en familie (endelig eller uendelig) af tilfældige begivenheder , hvor er et vilkårligt indekssæt . Så er disse begivenheder parvis uafhængige , hvis to begivenheder fra denne familie er uafhængige, dvs $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $jeg$

\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j}),\;\forall i\neq j.

Definition 3. Lad der være en familie (endelig eller uendelig) af tilfældige begivenheder . Så er disse hændelser i fællesskab uafhængige , hvis følgende er sandt for et begrænset sæt af disse hændelser: $\{A_{i}\}_{i\in I}\subset {\mathcal {F}}$ $\{A_{i_{k}}\}_{k=1}^{N}$

\mathbb {P} (A_{i_{1}}\cap \ldots \cap A_{i_{N}})=\mathbb {P} (A_{i_{1}})\cdot \ldots \cdot \mathbb {Smerte}}).

Bemærkning 2. Fælles uafhængighed indebærer naturligvis parvis uafhængighed. Det modsatte er generelt ikke sandt.

Eksempel 1. Lad tre balancerede mønter kastes. Lad os definere begivenheder som følger:

$A_{1}$ : mønter 1 og 2 faldt på samme side;
$A_{2}$ : mønter 2 og 3 faldt på samme side;
$A_{3}$ : mønter 1 og 3 faldt på samme side;

Det er nemt at kontrollere, at to begivenheder fra dette sæt er uafhængige. Alligevel er de tre kollektivt afhængige, for at vide, for eksempel, at begivenhederne skete , ved vi præcis, hvad der også skete. Mere formelt: . På den anden side . $A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})={\frac {1}{4}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2} }=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})\quad \forall i\neq j$ $\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2}\cap A_{3})={\frac {1}{4}}\neq {\frac {1}{2}}\cdot {\ frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2})\cdot \mathbb { P} (A_{3})$

Uafhængige sigma-algebraer

Definition 4. Lad to sigma-algebraer på samme sandsynlighedsrum. De kaldes uafhængige , hvis nogen af deres repræsentanter er uafhængige af hinanden, dvs. ${\mathcal {A}}_{1},\;{\mathcal {A}}_{2}\subset {\mathcal {F}}$

\mathbb {P} (A_{1}\cap A_{2})=\mathbb {P} (A_{1})\cdot \mathbb {P} (A_{2}),\;\forall A_{1 }\in {\mathcal {A}}_{1},\;A_{2}\in {\mathcal {A}}_{2}

Hvis der i stedet for to er en hel familie (muligvis uendelig) af sigma-algebraer, så er parvis og fælles uafhængighed defineret for det på en indlysende måde.

Uafhængige tilfældige variable

Definitioner

Definition 5. Lad en familie af stokastiske variable være givet , så . Så er disse tilfældige variable parvis uafhængige , hvis sigma-algebraerne genereret af dem er parvis uafhængige . Tilfældige variable er gensidigt uafhængige , hvis sigma-algebraerne, der genereres af dem, er det. $(X_{i})_{i\in I}$ $X_{i}\colon \Omega \to \mathbb {R} ,\;\forall i\in I$ $\{\sigma (X_{i})\}_{i\in I}$

Det skal bemærkes, at uafhængighed i praksis, medmindre det udledes af konteksten, forstås som uafhængighed i det samlede .

Ovenstående definition svarer til enhver anden af følgende. To stokastiske variable er uafhængige , hvis og kun hvis : $X,\;Y$

For enhver : $A,\;B\in {\mathcal {B}}(\mathbb {R} )$

\mathbb {P} (X\in A,\;Y\in B)=\mathbb {P} (X\in A)\cdot \mathbb {P} (Y\in B)=\mathbb { P} (\venstre\{\omega :X(\omega )\i A,~\omega \i \Omega \right\})\cdot \mathbb {P} (\left\{\omega :Y(\omega )\i B,~\omega \i \Omega \right\}).

For alle Borel-funktioner er de tilfældige variable uafhængige. $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $f(X),\;g(Y)$
For eventuelle begrænsede Borel-funktioner : $f,\;g\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$

\mathbb {E} \venstre[f(X)g(Y)\right]=\mathbb {E} \venstre[f(X)\right]\cdot \mathbb {E} \venstre[g(Y)\ ret].

Egenskaber for uafhængige stokastiske variable

Lade være fordelingen af en tilfældig vektor , være fordelingen og være fordelingen af . Så er de uafhængige hvis og kun hvis $\mathbb {P} ^{X,\;Y}$ $(X,\;Y)$ $\mathbb {P} ^{X}$ $x$ $\mathbb {P} ^{Y}$ $Y$ $X,\;Y$

\mathbb {P} ^{X,\;Y}=\mathbb {P} ^{X}\otimes \mathbb {P} ^{Y},

hvor betegner det (direkte) produkt af foranstaltninger . $\ nogle gange$

Lade være de kumulative fordelingsfunktioner hhv. Så er de uafhængige hvis og kun hvis $F_{X,\;Y},\;F_{X},\;F_{Y}$ $(X,\;Y),\;X,\;Y$ $X,\;Y$

F_{X,\;Y}(x,\;y)=F_{X}(x)\cdot F_{Y}(y).

Lad de tilfældige variable være diskrete . Så er de uafhængige hvis og kun hvis $X,\;Y$

\mathbb {P} (X=i,\;Y=j)=\mathbb {P} (X=i)\cdot \mathbb {P} (Y=j).

Lad de stokastiske variable i fællesskab være absolut kontinuerte, det vil sige, at deres fælles fordeling har en tæthed . Så er de uafhængige hvis og kun hvis $X,\;Y$ $f_{{X,\;Y}}(x,\;y)$

f_{X,\;Y}(x,\;y)=f_{X}(x)\cdot f_{Y}(y),\;\forall (x,\;y)\i \mathbb {R } ^{2}

hvor er tæthederne af stokastiske variable og hhv. $f_{X}(x),\;f_{Y}(y)$ $x$ $Y$

Lad de stokastiske variable være uafhængige og have en endelig varians . Så er de ikke korrelerede . $X,\;Y$
Enhver samling af tilfældige variable, der er uafhængige i populationen, er parvis uafhængige, men ikke alle parvise uafhængige samlinger er uafhængige i populationen. Det sidste demonstreres af møntkasteksemplet givet af S. N. Bernstein.

n-ær uafhængighed

I det generelle tilfælde, for enhver kan tale om -ær uafhængighed. Ideen er den samme: en familie af tilfældige variable er -arno uafhængig, hvis en delmængde af dens kardinalitet er kollektivt uafhængig. -ær uafhængighed er blevet brugt i teoretisk datalogi til at bevise MAXEkSAT- problemsætningen . $n\geqslant 2$ $n$ $n$ $n$ $n$

Se også

Links

Russell, Stuart. Artificial Intelligence: A Modern Approach / Stuart Russell, Peter Norvig. - Prentice Hall , 2002. - S. 478 . — ISBN 0-13-790395-2 .

Ordbøger og encyklopædier	Britannica (online)