Momenter af en tilfældig variabel

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 7. februar 2020; checks kræver 19 redigeringer .

Momentet for en stokastisk variabel er en numerisk karakteristik af fordelingen af en given stokastisk variabel .

Begrebets oprindelse

Moment i matematik er en direkte analogi med begrebet moment i fysik og mekanik. I matematik er en funktions momenter kvantitative målinger relateret til formen på grafen for en funktion. For eksempel, hvis funktionen er en sandsynlighedsfordeling , så er det første moment den forventede værdi , det andet centrale moment er variansen , det tredje standardiserede moment er skævheden , og det fjerde standardiserede moment er kurtosis . Hvis funktionen beskriver massetætheden, så er nulmomentet den samlede masse, det første moment (normaliseret til den samlede masse) er massecentret , og det andet moment er inertimomentet .

Definitioner

Hvis en tilfældig variabel defineret på et eller andet sandsynlighedsrum er givet , så: $\displaystyleX,$

$\displaystyle k$ -th indledende moment af den stokastiske variabel , hvor er variablen $\displaystyleX,$ $k\in {\mathbb {N}),$

\nu _{k}=\mathbb {M} \venstre[X^{k}\højre],

hvis den matematiske forventning på højre side af denne lighed er defineret;

\mathbb {M} [*]

$\displaystyle k$ -det centrale moment af en stokastisk variabel kaldes værdien $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \venstre[(X-\mathbb {M} X)^{k}\right],

$\displaystyle k$ De -te absolutte og -te centrale absolutte momenter af en stokastisk variabel kaldes henholdsvis størrelserne $\displaystyle k$ $\displaystyle X$

\nu _{k}=\mathbb {M} \left[|X|^{k}\right]

\mu _{k}=\mathbb {M} \left[|X-\mathbb {M} X|^{k}\right],

$\displaystyle k$ -th faktorielle moment af en stokastisk variabel er mængden $\displaystyle X$

\mu _{k}=\mathbb {M} \venstre[X(X-1)...(X-k+1)\højre],

hvis den matematiske forventning på højre side af denne lighed er defineret. [en]

Absolutte momenter kan defineres ikke kun for heltal, men også for alle positive reelle tal, hvis de tilsvarende integraler konvergerer. $k$

Noter

Hvis momenter af th orden er defineret, så er alle momenter af lavere orden også defineret $\displaystyle k$ $1\leqslant k'<k.$
På grund af den matematiske forventnings linearitet kan de centrale momenter udtrykkes i form af de indledende: $\mu _{k}=\sum \limits _{s=0}^{k}{(-1)^{s}C_{k}^{s}\nu _{ks}\nu _ {1}^{s}}$ .

Geometrisk betydning af nogle øjeblikke

$\displaystyle \mu _{2}$ er lig med variansen af fordelingen og viser spredningen af fordelingen omkring middelværdien. $\displaystyle (\mu _{2}=\sigma ^{2})$
$\displaystyle \mu _{3}$ , der er passende normaliseret, er en numerisk karakteristik af fordelingens symmetri . Mere præcist udtrykket

{\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}

kaldes skævhedsfaktoren .

$\displaystyle \mu _{4}$ viser, hvor tung fordelingen har haler. Værdi

\gamma _{2}={\frac {\mu _{4)){\sigma ^{4))}-3

kaldes fordelingens kurtosiskoefficient

\displaystyle X.

Beregning af momenter

Momenter kan beregnes direkte gennem definitionen ved at integrere de relevante potenser af den stokastiske variabel. Specielt for en absolut kontinuerlig fordeling med tæthed har vi: $\displaystyle f(x)$

\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}x^{k}\,f(x)\,dx,

hvis $\nu _{k}=\int \limits _{{-\infty }}^{{\infty }}|x|^{k}\,f(x)\,dx<{+\infty },$

og for en diskret fordeling med en sandsynlighedsfunktion

\displaystyle p(x):

\nu _{k}=\sum \limits _{{x}}x^{k}\,p(x),

hvis $\nu _{k}=\sum \limits _{{x}}|x|^{k}\,p(x)<{+\infty }.$

Momenterne af en tilfældig variabel kan også beregnes gennem dens karakteristiske funktion : $\displaystyle \phi (t)$

\nu _{k}=\left.i^{-k}{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}\phi (t)\right\vert _{t= 0}.

Hvis fordelingen er sådan, at en genererende funktion af momenter er defineret for den i et område af nul, så kan momenterne beregnes ved hjælp af følgende formel: $\displaystyle M(t),$

\nu _{k}=\venstre.{\frac {d^{k}}{dt^{k}}}M(t)\right\vert _{{t=0}}.

Generaliseringer

Du kan også overveje ikke-heltalsværdier . Momentet betragtet som en funktion af argumentet kaldes Mellin-transformationen . $k$ $k$

Vi kan overveje momenterne af en multidimensionel stokastisk variabel. Så vil det første moment være en vektor af samme dimension, det andet - en tensor af anden rang (se kovariansmatrix ) over et rum af samme dimension (selvom man også kan betragte sporet af denne matrix, som giver en skalar generalisering af variansen). Etc.

Se også

billedøjeblik

Noter

↑ G. Kramer. Matematiske metoder til statistik. - 2. udg. - M. : Mir, 1975. - S. 196-197, 284. - 648 s.