En Haken-manifold er en kompakt P 2 -ireducerbar 3-manifold , der er stor nok , hvilket betyder, at den indeholder en korrekt indlejret tosidet inkompressibel overflade . Nogle gange overvejes kun orienterbare Haken-manifolds, i hvilket tilfælde Haken-manifolds er kompakte orienterbare irreducerbare 3-manifolds, der indeholder orienterbare inkompressible overflader.
En 3-manifold dækket af et begrænset antal Haken-manifolder kaldes en virtuel Haken-manifold . Haken-virtualitetsformodningen siger, at enhver kompakt irreducerbar 3-manifold med en endelig fundamental gruppe er en virtuel Haken-variant. Denne hypotese blev bevist af Ian Agol.
Haken-manifolder blev foreslået af Wolfgang Haken [1] . Haken [2] beviste, at Haken-manifolder har et hierarki , hvor de kan opdeles i 3-bolde langs usammentrykkelige overflader. Haken viste også, at der er en endelig procedure til at finde en inkompressibel overflade, hvis 3-manifolden har en. Jaco og Ortel [3] præsenterede en algoritme til at bestemme, om en 3-manifold er en Haken-manifold.
Normale overflader er allestedsnærværende i teorien om Haken-manifolder, og deres enkle og stive struktur fører naturligt til algoritmer.
Vi vil kun overveje tilfældet med orienterbare Haken-manifolder for at forenkle diskussionen. Et regulært naboskab af en orienterbar overflade i en orienterbar 3-manifold er blot en "fortykket" udgave af overfladen, altså en triviel I -skive . Således er et regulært kvarter en 3-dimensionel undermanifold med grænse, der indeholder to kopier af overfladen.
Givet en orienterbar Haken-manifold M , indeholder den per definition en orienterbar inkompressibel overflade S. Tag et regulært kvarter af overfladen S og fjern dens indre fra M , vi får manifolden M' . I det væsentlige skærer vi M langs overfladen S . (Dette er analogt, i dimension én mindre, at skære en overflade langs en cirkel eller en bue.) Der er en sætning om, at enhver orienterbar kompakt manifold, der har en komponent med grænse, der ikke er en kugle, har en uendelig første homologigruppe, som indebærer, at den har en korrekt indlejret 2-sidet uadskillelig inkompressibel overflade, og derfor også er en Haken-manifold. Således kan vi vælge en anden inkompressibel overflade i M' og skære langs den. Hvis denne sekvens af snit til sidst resulterer i en manifold, hvis dele (komponenter) blot er 3-bolde, kalder vi denne sekvens et hierarki.
Hierarkiet gør det muligt at bevise nogle slags Haken mangfoldige sætninger ved induktion. Først bevises en sætning for 3-bolde. Så er det bevist, at hvis sætningen er sand for de dele, der opnås ved at skære Haken-manifolden, så er den også sand for Haken-manifolden selv. Nøglen her er, at snittet er langs en meget "god" overflade, det vil sige usammentrykkelig. Dette gør beviset ved induktion lyd i mange tilfælde.
Haken skitserede et bevis på en algoritme til at kontrollere, om to Haken-varianter er homøomorfe. Hans skitse af beviset var fyldt med den uafhængige indsats fra Waldhausen, Johanson, Hemion, Matveev og andre. Siden da har der været en algoritme til at kontrollere, om en 3-manifold er en Haken-manifold, og hovedproblemet med at genkende 3-manifolds kan anses for løst for Haken-manifolds.
Waldhausen [4] beviste, at lukkede Haken-manifolder er topologisk stive - groft sagt er enhver homotopi-ækvivalens af Haken-manifolder homotopi til en homeomorfisme (i tilfælde af en grænse kræves en betingelse på en perifer struktur). Således er 3-manifolds fuldstændigt bestemt af deres grundlæggende gruppe. Derudover beviste Waldhausen, at de grundlæggende grupper af Haken-varianter har et løseligt ordproblem. Det samme gælder for virtuelle Hakenske manifolder.
Hierarkiet spiller en afgørende rolle i William Thurstons hyperboliseringsteorem for Haken-manifolder, som er en del af hans revolutionære program for geometrisering af 3-manifolder.
Johanson [5] beviste, at atoroidale ikke -ring grænse-irreducible Haken 3-manifolds har endelige kortlægningsklassegrupper . Dette resultat kan opnås ved at kombinere Mostovs stivhed med Thurstons geometriseringssætning.
Bemærk, at nogle eksempelfamilier er indeholdt i andre.