Stiforbundet rum

Et lineært forbundet rum er et topologisk rum , hvor alle to punkter kan forbindes med en kontinuerlig kurve.

Definitioner

Overvej et segment af den reelle linje med standardtopologien for den reelle linje defineret på den . Lad også et topologisk rum gives . Så kaldes sidstnævnte stiforbundet [1], hvis der for to punkter er en kontinuerlig afbildning , således at $[0,1]\subset \mathbb {R}$ $(X,{\mathcal {T}}).$ $x,y\i X$ $f:[0,1]\to X$ $f(0)=x,\;f(1)=y.$
Lad en delmængde gives . Så er topologien induceret på den naturligt defineret . Hvis rummet er stiforbundet , så kaldes delmængden også stiforbundet i [2] . $M\delsæt X$ ${\mathcal {T}}_{M}$ $\mathcal{T}$ $\left(M,\;{\mathcal {T}}_{M}\right)$ $M$ $x$

Relaterede definitioner

Hvert sti-forbundet undersæt af et rum er indeholdt i en maksimal sti-forbundet undergruppe. Sådanne maksimalt forbundne delmængder kaldes lineært forbundne komponenter af rummet [2] . $x$ $x$
- Et rum, hvor hver sti-forbundet komponent består af et enkelt punkt, kaldes fuldstændig sti-frakoblet (i analogi med fuldstændig afbrudt rum ).
Hvis der er en base af rumtopologien bestående af stiforbundne åbne mængder , så kaldes rumtopologien og selve rummet (i denne topologi) lokalt stiforbundet [3] . $x$ $x$ $x$

Eksempler

En linje, en cirkel, en konveks delmængde af det euklidiske rum er eksempler på stiforbundne rum [4] .
Lukningen af grafen for en funktion ved er et eksempel på et forbundet rum, der ikke er stiforbundet. Dette rum har to komponenter af lineær forbindelse: grafen for funktionen for x > 0 og segmentet på y-aksen [5] . $\sin\tfrac1x$ $x\ge 0$ $[-1,1]$
En pseudoarc er et eksempel på et forbundet, men fuldstændig lineært adskilt rum.

Egenskaber

Hvert stiforbundet rum er forbundet . Det modsatte er ikke sandt [1] .
Et endeligt topologisk rum er stiforbundet, hvis og kun hvis det er forbundet.
Et kontinuerligt billede af et stiforbundet rum er stiforbundet [5] .
Hvis rummet er stiforbundet og , så er homotopigrupperne og isomorfe , og denne isomorfi er unikt defineret op til en indre automorfi [6] . $x$ $x,\;y\i X$ $\pi _{1}(X,\;x)$ $\pi _{1}(X,\;y)$ $\pi _{1}(X,\;x)$

Lineær forbindelse på den rigtige linje

Vi antager , at og er standardtopologien for den reelle linje. Derefter [5] $X=\mathbb {R}$ $\mathcal{T}$

Et undersæt er stiforbundet hvis og kun hvis $M\subset \mathbb {R}$ $\forall x,\;y\in M:(x\leqslant y)\Rightarrow {\bigl (}[x,\;y]\subset M{\bigr )},$

det vil sige, at to punkter kommer ind i det sammen med det segment, der forbinder dem.

Enhver stiforbundet delmængde af den reelle linje er et endeligt eller uendeligt åbent, halvåbent eller lukket interval: $(a\;,b),\;[a,\;b),\;(a,\;b],\;[a,\;b],\;(-\infty ,\; b),\;(-\infty ,\;b],\;(a,\;+\infty ),\;[a,\;+\infty ),(-\infty ,+\infty ).$
En delmængde af tallinjen er stiforbundet, hvis og kun hvis den er forbundet.

Generalisering

En multidimensionel generalisering af en lineær forbindelse er -forbindelse (forbindelse i dimension ). Et rum siges at være forbundet i dimension, hvis to afbildninger af den dimensionelle sfære til , hvor , er homotopiske . Især -connectivity er det samme som lineær connectivity, og -connectivity er det samme som simple-connectedness [7] . $k$ $k$ $x$ $k$ $r$ ${\displaystyle S^{r))$ $x$ $r\leqslant k$ $0$ $en$

Noter

↑ 1 2 Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 24.
↑ 1 2 Viro et al., 2012 , s. 86.
↑ Viro et al., 2012 , s. 229.
↑ Viro et al., 2012 , s. 85-86.
↑ 1 2 3 Viro et al., 2012 , s. 87.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 51.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , s. 49.

Litteratur

Fomenko, A. T. , Fuchs, D. B. Et kursus i homotopi-topologi. —M.:Nauka, 1989. — 528 s. —ISBN 5-02-013929-7. (Russisk)
Viro, O. Ya. , Ivanov, O. A. , Netsvetaev, N. Yu. , Kharlamov, V. M. Elementær topologi. - 2. udg., rettet .. -M .: MTSNMO, 2012. -ISBN 978-5-94057-894-9. (Russisk)