Karatsuba, Anatoly Alekseevich

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 31. december 2021; checks kræver 3 redigeringer .

Karatsuba Anatoly Alekseevich

Fødselsdato

31. januar 1937

Fødselssted

Groznyj

Dødsdato

28. september 2008 (71 år)

Et dødssted

Moskva , Rusland

Land

USSR , Rusland

Videnskabelig sfære

matematik

Arbejdsplads

MIAN , Moscow State University

Alma Mater

Moskva statsuniversitet (Mekhmat)

Akademisk grad

Doktor i fysiske og matematiske videnskaber

videnskabelig rådgiver

Korobov N.M.

Studerende

Voronin S.M. , Chubarikov V.N. ,

Arkhipov G.I.

Præmier og præmier

præmie til dem. P. L. Chebyshev Academy of Sciences i USSR

præmie til dem. I. M. Vinogradov RAS

Mediefiler på Wikimedia Commons

Anatoly Alekseevich Karatsuba (31. januar 1937 , Grozny - 28. september 2008 , Moskva) - sovjetisk og russisk matematiker . Skaberen af den første hurtige metode i matematikkens historie - metoden til at multiplicere store tal [1] [2] ( Karatsuba multiplikation ).

Studere og arbejde

Anatoly Karatsuba studerede i 1944-1954 på den sekundære mandlige skole nr. 6 i byen Grozny og dimitterede med en sølvmedalje. Allerede i sine tidlige år viste han exceptionelle evner til matematik, idet han løste problemer i de lavere karakterer, som blev givet til gymnasieelever i en matematisk cirkel.

I 1959 dimitterede han fra fakultetet for mekanik og matematik ved Moscow State University. Lomonosov . I 1962 blev han kandidat for fysiske og matematiske videnskaber med en afhandling "Rationelle trigonometriske summer af en speciel form og deres anvendelser" (vejleder - N. M. Korobov ), og begyndte at arbejde på fakultetet ved Moskvas statsuniversitet. I 1966 forsvarede han sin doktorafhandling "Method of trigonometric sums and mean value teorems" og blev forskningsstipendiat ved USSR Academy of Sciences Mathematical Institute (MIAN).

Siden 1983 har han været en førende specialist inden for talteori i USSR og Rusland og leder af afdelingen for talteori (etableret i 1983 ) ved Moskvas præstationsinstitut, professor ved afdelingen for talteori i Moskva. State University siden 1970 og professor ved Institut for Matematisk Analyse ved Moscow State University (etableret i 1962 ) siden 1980 . Hans forskningsinteresser omfattede trigonometriske summer og integraler , Riemann zeta-funktionen , Dirichlet-tegn , statsmaskine , effektive algoritmer .

A.A. Karatsuba vejledte 15 ph.d.-studerende; syv af dem blev senere videnskabsdoktorer. Han har statspriser og titler.

Priser og titler

1981 : P. L. Chebyshev-prisen fra USSRs Videnskabsakademi
4. juni 1999 : Æret videnskabsmand fra Den Russiske Føderation
2001 : I. M. Vinogradov-prisen fra Det Russiske Videnskabsakademi

Tidligt arbejde i datalogi

Som studerende ved Moscow State University. Lomonosov, A. A. Karatsuba deltog i arbejdet med A. N. Kolmogorovs seminar og fandt løsninger på to problemer stillet af Kolmogorov, som satte skub i udviklingen af automatteori og markerede begyndelsen på en ny retning inden for matematik - teorien om hurtige algoritmer .

Automater

I Edward Moores artikel "Speculative Experiments on Sequential Machines" [3] er en automat (eller maskine) defineret som en enhed med tilstande, inputsymboler og outputsymboler. Vi beviser ni sætninger om strukturen og eksperimenter med . Sådanne maskiner blev senere kendt som Moore automata . I slutningen af artiklen, i kapitlet "Nye problemer", formulerer Moore problemet med at forbedre estimaterne opnået af ham i sætning 8 og 9: $(n;m;p)$ $S$ $n$ $m$ $s$ $S$ $S$ $S$

Sætning 8 (Moore). Lad en vilkårlig maskine gives , sådan at hver to af dens tilstande kan skelnes fra hinanden, så er der et eksperiment af længde , der sætter (finder) tilstanden i slutningen af dette eksperiment.

(n;m;p)

S

n(n-1)/2

S

I 1957 beviste Karatsuba to sætninger, der fuldstændigt løste Moores problem med at forbedre estimatet for længden af et eksperiment i hans sætning 8 .

Sætning A (Karatsuba). Hvis der er en maskine, hvis to tilstande kan skelnes fra hinanden, så er der et forgrenet eksperiment af længde på højst , ved hjælp af hvilket det er muligt at fastslå (finde) tilstanden ved forsøgets afslutning.

S

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

S

Sætning B (Karatsuba). Der er en maskine, hvis to tilstande kan skelnes fra hinanden, således at længden af det korteste eksperiment, der fastslår maskinens tilstand ved afslutningen af eksperimentet, er .

(n;m;p)

(n-1)(n-2)/2+1

Disse to teoremer dannede grundlaget for Karatsubas 4. års semesteropgave "On a Problem in the Theory of Automata", som blev tildelt en prisværdig anmeldelse (det vil sige ikke særlig høj) ved konkurrencen om studerendes værker fra Det Mekaniske og Matematiske Fakultet fra Moskvas statsuniversitet. Lomonosov i 1958 . Artiklen blev indsendt af Karatsuba til Uspekhi matematicheskikh nauk i december 1958 og blev først offentliggjort i juni 1960 [4] . Men indtil nu er dette resultat af Karatsuba, som senere blev kendt som Moore-Karatsuba-sætningen, det eneste nøjagtige (den eneste nøjagtige ikke-lineære evalueringsrækkefølge) ikke-lineære resultat både i automatteori og i lignende problemer i teorien af beregningsmæssig kompleksitet. [en]

Hurtige algoritmer

Hurtige algoritmer er en gren af beregningsmatematik , der studerer algoritmer til at beregne en given funktion med en given nøjagtighed ved hjælp af så få bitoperationer som muligt. Vi vil antage, at tallene er skrevet i det binære talsystem, hvis fortegn 0 og 1 kaldes bit . En bit operation er defineret som at skrive tegnene 0, 1, plus, minus, parentes; addition, subtraktion og multiplikation af to bits. De første formuleringer af problemer om bitkompleksiteten af beregninger tilhører A. N. Kolmogorov . Multiplikationskompleksitet er defineret som antallet af bitoperationer, der er tilstrækkeligt til at beregne produktet af tocifrede tal ved hjælp af denne algoritme. $M(n)$ $n$

Hvis vi multiplicerer to n -cifrede tal på den sædvanlige skolemåde "i en kolonne", har vi en øvre grænse . I 1956 antog A. N. Kolmogorov, at den nedre grænse for enhver multiplikationsmetode også er en ordensværdi , det vil sige, at det er umuligt at beregne produktet af to n -cifrede tal hurtigere end i operationer (den såkaldte "hypotese "). Plausibiliteten af hypotesen blev indikeret af det faktum, at i hele matematikkens eksistens på det tidspunkt havde folk multipliceret med ordenskompleksitet , og hvis der havde været en hurtigere multiplikationsmetode, ville det sandsynligvis allerede have været fundet. $M(n)=O(n^{2})$ $M(n)$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $n^{2}$ $O(n^{2})$

I 1960, på fakultetet for mekanik og matematik ved Moskva State University, begyndte et seminar om matematiske spørgsmål om kybernetik at arbejde under vejledning af A. N. Kolmogorov, hvor en "hypotese " blev formuleret og en række problemer blev stillet for at vurdere kompleksiteten andre lignende beregninger. Anatoly Karatsuba, i håb om at få en nedre grænse for , fandt en ny metode til at multiplicere to n -cifrede tal, nu kendt som Karatsuba-multiplikationen , med et kompleksitetsestimat $n^{2}$ $M(n)$

M(n)=O(n^{{\log _{2}3)))=O(n^{{1.58496\ldots }}),

og derved tilbagevise hypotesen $n^{2}$ , som han rapporterede til Kolmogorov efter det næste møde på seminaret. På det næste møde i seminaret blev denne metode beskrevet af Kolmogorov selv, og seminaret ophørte med sit arbejde. [5] Den første artikel, der beskriver Karatsuba-multiplikation, blev udarbejdet af Kolmogorov selv, hvor han præsenterede to forskellige og ikke-relaterede resultater fra to af sine elever. [6] Selvom Kolmogorov i artiklen tydeligt bemærkede, at en sætning (ikke relateret til hurtig multiplikation) skyldtes Yu. Ofman, og en anden sætning (med den første hurtige multiplikation nogensinde) skyldtes A. Karatsube, denne publikation af to forfattere forvirrede læsere i lang tid, som troede, at begge forfattere bidrog til skabelsen af den hurtige multiplikationsmetode, og endda kaldte denne metode ved to navne. Karatsuba-metoden blev efterfølgende generaliseret til divide and conquer-paradigmet , hvor andre vigtige eksempler er binære opdelingsmetodesøgning , bisektionsmetoden osv .

Efterfølgende, på grundlag af denne idé om A. Karatsuba [5] [7] [8] , blev der bygget en masse hurtige algoritmer, hvoraf den mest berømte er dens direkte generaliseringer, såsom Schoenhage-Strassen multiplikationsmetoden [9] , Strassen matrix multiplikationsmetoden [10] og den hurtige Fourier transformation .

Den franske matematiker og filosof Jean-Paul Delaye kaldte [11] Karatsubas multiplikationsmetode for "et af matematikkens mest nyttige resultater".

Anatoly Karatsubas algoritme er implementeret i næsten alle moderne computere, ikke kun på softwareniveau, men også på hardwareniveau.

Grundforskning

I deres artikel "Om professor Karatsubas matematiske arbejde" [12] , dedikeret til 60-årsdagen for A. A. Karatsuba, beskriver hans elever G. I. Arkhipov og V. N. Chubarikov funktionerne i A. A. Karatsubas videnskabelige arbejde som følger:

Når man præsenterer bemærkelsesværdige videnskabsmænds værker, er det naturligt at fremhæve nogle karakteristiske og slående træk ved deres arbejde. Sådanne kendetegn i professor Karatsubas videnskabelige aktivitet er kombinatorisk opfindsomhed, grundighed og en vis fuldstændighed af resultaterne.

De vigtigste undersøgelser af A. A. Karatsuba er publiceret i mere end 160 videnskabelige artikler og monografier. [13] [14] [15] [16]

Trigonometriske summer og trigonometriske integraler

p -adic metode

A. A. Karatsuba konstruerede en ny -adic metode i teorien om trigonometriske summer. De af ham indhentede skøn for blankettens såkaldte -summer $s$ $L$

S=\sum _{{x=1}}^{P}e^{{2\pi i(a_{1}x/p^{n}+\dots a_{n}x^{n}/p )}},\quad (a_{s},p)=1,\quad 1\leq s\leq n,

førte til nye grænser for nul -Dirichlet-rækken modulo lig med potensen af et primtal, til udledningen af en asymptotisk formel for Waring-sammenligningstallet for formen $L$

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {p^{k}}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq n,\quad P<p^{k},

løse problemet med fordelingen af brøkdele af et polynomium med heltalskoefficienter modulo . A. A. Karatsuba var den første til at implementere [18] Euler-Vinogradov "indlejringsprincippet" i -adic-formen og konstruere en -adic-analog af - Vinogradov-tallene ved estimering af antallet af løsninger af en Waring-type sammenligning. $p^{k}$ $s$ $s$ $u$

Lade

x_{1}^{{n}}+\dots +x_{t}^{{n}}\equiv N{\pmod {Q}},\quad 1\leq x_{s}\leq P,\quad 1\leq s\leq t,\quad (1)

P^{r}\leq Q<P^{{r+1)),\quad 1\leq r\leq {\frac {1}{12)){\sqrt {n)),\quad Q=p ^{k},\quad k\geq 4(r+1)n,

hvor er et primtal. A. A. Karatsuba beviste, at der i dette tilfælde for ethvert naturligt tal eksisterer sådan, at ethvert naturligt tal kan repræsenteres i formen (1) for , og for der eksisterer sådan, at sammenligning (1) er uafgørlig. $s$ $n\geq 144$ $p_{0}=p_{0}(n)$ $p_{0}>p_{0}(n)$ $N$ $t\geq 20r+1$ $t<r$ $N$

Denne nye tilgang, fundet af A. A. Karatsuba, førte til et nyt -adisk bevis for I. M. Vinogradovs middelværdisætning, som spiller en central rolle i Vinogradovs metode til trigonometriske summer. $s$

Et andet element i A. A. Karatsubas -adiske metode er overgangen fra ufuldstændige ligningssystemer til komplette på grund af den lokale -adiske ændring af ukendte. [19] [20] $s$ $s$

Lade være et vilkårligt naturligt tal, , og lad det heltal være defineret af ulighederne . Overvej ligningssystemet $r$ $1\leq r\leq n$ $t$ $m_{t}\leq r\leq m_{{t+1}}$

{\begin{cases}x_{1}^{m_{1}}+\dots +x_{k}^{m_{1}}=y_{1}^{m_{1}}+\dots +y_{k}^{m_{1}},\\\qquad \qquad \qquad \qquad \vdots \\x_{1}^{m_{s}}+\dots +x_{k}^{m_{ s}}=y_{1}^{m_{s}}+\dots +y_{k}^{m_{s}},\\x_{1}^{n}+\dots +x_{k}^ {n}=y_{1}^{n}+\dots +y_{k}^{n}.\end{cases}}

1\leq x_{1},\dots ,x_{k},y_{1},\dots,y_{k}\leq P,\quad 1\leq m_{1}<m_{2}<\dots < m_{s}<m_{{s+1}}=n.

A. A. Karatsuba beviste, at antallet af løsninger af dette ligningssystem for , opfylder estimatet $I_{k}$ $k\geq 6rn\log n$

I_{k}\ll P^{{2k-\delta }},\quad \delta =m_{1}+\dots +m_{t}+(s-t+1)r.

For ufuldstændige ligningssystemer, hvor variablerne spænder over tal med små primtal divisorer, anvendte A. A. Karatsuba et multiplikativt skift af variable. Dette førte til et kvalitativt nyt estimat af trigonometriske summer og en ny middelværdisætning for sådanne ligningssystemer.

Hua Lo-kens problem om eksponenten for konvergens af singularintegralet af Terry-problemet

$s$ Den -adic-metoden af A. A. Karatsuba inkluderer metoder til at estimere målet for et sæt punkter med små værdier af funktioner i form af værdierne af deres parametre (koefficienter osv.) og omvendt estimere disse parametre i termer af mængdens mål i reelle og -adiske metrikker. Denne side af metoden til A. A. Karatsuba blev især tydeligt manifesteret i evalueringen af trigonometriske integraler, hvilket førte til løsningen af problemet med Hua Lo-ken . I 1979 løste A. A. Karatsuba, sammen med sine elever G. I. Arkhipov og V. N. Chubarikov [21] fuldstændigt [21] problemet med Hua Lo-ken, der blev stillet i 1937 , som bestod i at bestemme konvergensindekset for integralet: $s$

\vartheta _{0}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}{ \biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{{n}}x^{{n}}+\cdots +\alpha _{{1}}x)}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}\ldots d\alpha _{{1}},

hvor er et fast nummer. $n\geq 2$

I dette tilfælde er konvergensindekset sådan en værdi , der konvergerer ved og divergerer ved , hvor vilkårligt lille. Det blev fundet, at integralet konvergerer ved og divergerer ved . $\gamma$ $\vartheta _{0}$ $2k>\gamma +\varepsilon$ $2k<\gamma -\varepsilon$ $\varepsilon >0$ $\vartheta _{{0}}$ $2k>{\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$ $2k\leq {\tfrac {1}{2}}(n^{{2}}+n)+1$

Samtidig blev et lignende problem løst for integralet

\vartheta _{1}=\int _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int _{{-\infty }}^{{+\infty }}{\biggl |} \int _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi i(\alpha _{n}x^{n}+\alpha _{m}x^{m}+\cdots + \alpha _{r}x^{r))}}dx{\biggr |}^{{2k}}d\alpha _{{n}}d\alpha _{{m}}\ldots d\alpha _ {{r}},

hvor er heltal, der opfylder betingelserne $n,m,\ldots ,r$

1\leq r<\ldots <m<n,\quad r+\ldots +m+n<{\tfrac {1}{2}}(n^{2}+n).

A. A. Karatsuba og hans elever fandt ud af, at integralet konvergerer hvis og divergerer hvis . $\vartheta _{1}$ $2k>n+m+\ldots+r$ $2k\leq n+m+\ldots+r$

Integraler og opstår ved løsning af det såkaldte Terry -problem (Terry-Escott problem). A. A. Karatsuba og hans elever opnåede en række nye resultater relateret til den multidimensionelle analog til Terrys problem. De fastslog især, at hvis er et polynomium i variabler ( ) af formen $\vartheta _{0}$ $\vartheta _{1}$ $F$ $r$ $r\geq 2$

F(x_{{1}},\ldots ,x_{{r}})\,=\,\sum \limits _{{\nu _{{1}}=0}}^{{n_{{1 }}}}\cdots \sum \limits _{{\nu _{{r}}=0}}^{{n_{{r}}}}\alpha (\nu _{{1}}),\ ldots ,\nu _{{r)))x_{{1}}^{{\nu _{{1}}}}\ldots x_{{r}}^{{\nu _{{r}}} } ,

med nul fri koefficient, , er en dimensionel vektor sammensat af koefficienter , så integralet $m=(n_{{1}}+1)\ldots (n_{{r}}+1)-1$ ${\bar {\alpha }}$ $m$ $F$

\vartheta _{{2}}=\int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty }}\cdots \int \limits _{{-\infty }}^{{+\infty } }{\biggl |}\int \limits _{{0}}^{{1}}\cdots \int \limits _{{0}}^{{1}}e^{{2\pi iF(x_ {{1)),\ldots ,x_{{r))))}}dx_{{1}}\ldots dx_{{r}}{\biggr |}^{{2k}}d{\bar {\ alfa }}

konvergerer for , hvor er det største af tallene . Dette resultat, selvom det ikke er endeligt, gav anledning til en ny retning i teorien om trigonometriske integraler, forbundet med forfining af grænserne for konvergensindekset (I. A. Ikromov, M. A. Chakhkiev og andre). $2k>mn$ $n$ $n_{1},\ldots ,n_{r}$ $\vartheta _{2}$

Flere trigonometriske summer

I 1966-1980 skabte A. A. Karatsuba [22] [23] [14] (med deltagelse af hans elever G. I. Arkhipov og V. N. Chubarikov) teorien om multiple trigonometriske summer af H. Weyl , det vil sige summer af formen

S=S(A)=\sum _{{x_{1}=1}}^{{P_{1}}}\dots \sum _{{x_{r}=1}}^{{P_{r }}}e^{{2\pi iF(x_{1},\dots ,x_{r})}}

hvor , $F(x_{1},\dots ,x_{r})=\sum _{{t_{1}=1}}^{{n_{1}}}\dots \sum _{{t_{r}= 1}}^{{n_{r}}}\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})x_{1}^{{t_{1}}}\dots x_{r}^{{ t_{r}}}$

$EN$ er et sæt af reelle koefficienter . Det centrale punkt i denne teori, såvel som teorien om trigonometriske summer af I. M. Vinogradov, er følgende middelværdisætning . $\alpha (t_{1},\dots ,t_{r})$

Lade være naturlige tal, , . Lad yderligere være en -dimensionel terning i formens euklidiske rum

n_{1},\dots ,n_{r},P_{1},\dots ,P_{r}

P_{1}=\min(P_{1},\dots ,P_{r})

m=(n_{1}+1)\dots (n_{r}+1)

\Omega

m

0\leq \alpha (t_{1},\dots ,t_{r})<1

... _

0\leq t_{1}\leq n_{1},\dots ,0\leq t_{r}\leq n_{r}

J=J(P_{1},\dots ,P_{r};n_{1},\dots,n_{r};K,r)={\underset {\Omega }{\int \dots \int } }|S(A)|^{{2K}}dA

. Så for enhver og mængden opfylder estimatet

\tau \geq 0

K\geq K_{{\tau }}=m\tau

J

J\leq K_{{\tau }}^{{2m\tau }}\varkappa ^{{4\varkappa ^{2}\Delta (\tau )}}2^{{8m\varkappa \tau }}( P_{1}\dots P_{r})^{{2K}}P^{{-\varkappa \Delta (\tau )}}

, hvor , , , og naturlige tal er sådan, at:

\varkappa =n_{1}\nu _{1}+\dots +n_{r}\nu _{r}

\gamma \varkappa =1

\Delta (\tau )={\frac {m}{2}}(1-(1-\gamma )^{{\tau }})

P=(P_{1}^{{n_{1}}}\dots P_{r}^{{n_{r}}})^{{\gamma }}

\nu _{1},\dots ,\nu _{r}

-1<{\frac {P_{s}}{P_{1}}}-\nu _{s}\leq 0

, .

s=1,\prikker ,r

Middelværdisætningen og lemmaet om multipliciteten af skæringsmuligheden af multidimensionelle parallelepipeder ligger til grund for estimatet af en multipel trigonometrisk sum opnået af A. A. Karatsuba (det todimensionelle tilfælde blev opnået af G. I. Arkhipov [24] ). Hvis vi angiver med det mindste fælles multiplum af tal med betingelsen , så for , har vi estimatet $Q_0$ $q(t_{1},\dots,t_{r})$ $t_{1}+\dots t_{r}\geq 1$ $Q_{0}\geq P^{{1/6}}$

|S(A)|\leq (5n^{{2n}})^{{r\nu (Q_{0})}}(\tau (Q_{0}))^{{r-1}}P_ {1}\dots P_{r}Q^{{-0.1\mu }}+2^{{8r}}(r\mu ^{{-1}})^{{r-1}}P_{1 }\dots P_{r}P^{{-0,05\mu }}

hvor er antallet af divisorer af tallet , og er antallet af forskellige primtalsdelere af tallet . $\tau (Q)$ $Q$ $\nu (Q)$ $Q$

Et skøn for Hardy-funktionen i Warings problem

Ved at anvende -adic-formen af Hardy-Littlewood-Ramanujan-Vinogradov cirkulære metode konstrueret af ham til estimater af trigonometriske summer, hvor summeringen udføres over tal med små primtal divisorer, opnåede A. A. Karatsuba [25] et nyt estimat for brønden -kendt Hardy -funktion i Waring-problemet (for ): $s$ $G(n)$ $n\geq 400$

G(n)<2n\log n+2n\log \log n+12n.

En multidimensionel analog af Warings problem

I sine videre studier af Waring-problemet opnåede A. A. Karatsuba [26] [27] følgende todimensionelle generalisering af dette problem:

Overvej ligningssystemet

x_{1}^{{ni}}y_{1}^{i}+\dots +x_{k}^{{ni}}y_{k}^{i}=N_{i}

... _

i=0,1,\prikker ,n

hvor gives positive heltal med samme vækstrækkefølge, , og er ukendte, men også positive heltal. Dette system er løseligt, hvis , og hvis , så eksisterer der sådan , at systemet ikke har nogen løsninger. $N_{i}$ $N_{0}\til +\infty$ $x_{{\varkappa }},y_{{\varkappa }}$ $k>cn^{2}\log n$ $k<c_{1}n^{2}$ $N_{i}$

Artins problem med den lokale repræsentation af nul ved formen

I undersøgelser af Artins problem med den -adiske repræsentation af nul ved en form for vilkårlig grad, viste resultaterne af A. A. Karatsuba, at i stedet for den tidligere antagne magtlov øges antallet af variable for en ikke-triviel repræsentation af nul ved en form, bør dette antal variable vokse næsten eksponentielt afhængigt af graden. A. A. Karatsuba sammen med sin elev G. I. Arkhipov beviste [28] , at der for ethvert naturligt tal eksisterer sådan , at der for enhver eksisterer en form for grad mindre end , med heltalskoefficienter, hvis antal variable er , , $s$ $r$ $n_{0}=n_{0}(r)$ $n\geq n_{0}$ $F(x_{1},\dots,x_{k})$ $n$ $k$ $k\geq 2^{u}$

u={\frac {n}{(\log _{2}n)(\log _{2}\log _{2}n)\dots \underbrace {(\log _{2}\dots \log _ {2}n)}_{r}\underbrace {(\log _{2}\dots \log _{2}n)^{3}}_{{r+1}}}}

og kun have en triviel repræsentation af nul i 2-adiske tal, og opnåede også et lignende resultat for et vilkårligt ulige primtalsmodul . $s$

Estimater for korte Kloosterman-summer

A. A. Karatsuba skabte [29] [30] [31] (1993-1999) en ny metode til at estimere korte Kloosterman-summer , det vil sige trigonometriske summer af formen

\sum \limits _{{n\i A}}\exp {{\biggl (}2\pi i\,{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr )} },

hvor løber gennem et sæt af primtal med , antallet af elementer i hvilket er væsentligt mindre end , og symbolet angiver resten invers til modulo : . $n$ $EN$ $m$ $\|A\|$ $m$ $n^{{*}}$ $n$ $m$ $nn^{{*}}\equiv 1(\mod m)$

Indtil begyndelsen af 1990'erne. estimater af denne type var hovedsageligt kendt for summer, hvor antallet af termer overskred ( G. D. Kloosterman , I. M. Vinogradov , G. Salie, L. Karlitz , S. Uchiyama, A. Weil ). Undtagelsen var specielle moduler af formen , hvor er et fast primtal, og eksponenten stiger på ubestemt tid (dette tilfælde blev studeret af A. G. Postnikov ved metoden fra I. M. Vinogradov ). Karatsubas metode gør det muligt at estimere Kloosterman-summer, hvis antal termer ikke overstiger , og i nogle tilfælde endda , hvor er et vilkårligt lille fast antal. Den sidste artikel af A. A. Karatsuba om dette emne [32] blev offentliggjort efter hans død. ${\sqrt {m))$ $m=p^{{\alpha }}$ $s$ $\alfa$ $m^{{\varepsilon ))$ $\exp {\{(\ln m)^{{2/3+\varepsilon }}\}}$ $\varepsilon >0$

Forskellige aspekter af metoden til A. A. Karatsuba har fundet anvendelse ved løsning af følgende problemer med analytisk talteori:

finde asymptotik for summer af brøkdele af formen ${\sum _{{n\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},{\sum _{ {p\leq x}}}'{\biggl \{}{\frac {ap^{{*}}+bp}{m}}{\biggr \}},$

hvor løber gennem på hinanden følgende heltal med betingelsen , og løber gennem primtal, der ikke deler modulet (A. A. Karatsuba);

n

(n,m)=1

s

m

at finde en nedre grænse for antallet af løsninger af formens uligheder $\alpha <{\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}}\leq \beta$

i heltal , , coprime med , (A. A. Karatsuba);

n

1\leq n\leq x

m

x<{\sqrt {m))

nøjagtigheden af tilnærmelse af et vilkårligt reelt tal fra et segment ved brøkdele af formen $[0,1]$ ${\biggl \{}{\frac {an^{{*}}+bn}{m}}{\biggr \}},$

hvor , , (A. A. Karatsuba);

1\leq n\leq x

(n,m)=1

x<{\sqrt {m))

forfining af konstanten i Brun-Titchmarsh-uligheden $c$ $\pi (x;q,l)<{\frac {cx}{\varphi (q)\ln {\frac {2x}{q)))),$

hvor er antallet af primtal, der ikke overstiger og hører til en aritmetisk progression ( J. Friedlander , G. Ivanets );

\pi (x;q,l)

s

x

p\equiv l{\pmod {q}}

nedre grænse for den største prim-divisor af et produkt af tal på formen: $n^{{3}}+2$ , ( D. R. Heath-Brown ); $N<n\leq 2N$

bevis for formens uendelighed af primtal ( J. Friedlander , G. Ivanets ); $a^{{2}}+b^{{4}}$

kombinatoriske egenskaber af et sæt tal , (A. A. Glibichuk). $n^{{*}}{\pmod {m}}$ $1\leq n\leq m^{{\varepsilon }}$

Riemann zeta funktion

A. Selbergs hypotese

I 1984 etablerede A. A. Karatsuba [33] [34] [35] at for en fast med betingelse , tilstrækkelig stor og , , indeholder intervallet mindst reelle nuller af Riemann zeta-funktionen . $\varepsilon$ $0<\varepsilon<0,001$ $T$ $H=T^{{a+\varepsilon }}$ $a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}$ $(T,T+H)$ $CH\ln T$ $\zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2))+it{\Bigr )}$

Denne påstand blev fremsat i 1942 som en formodning af A. Selberg [36] , som selv beviste dens gyldighed for sagen . Estimaterne fra A. Selberg og A. A. Karatsuba kan ikke forbedres i rækkefølge efter vækst for . $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$ $T\til +\infty$

Fordeling af nuller af Riemann zeta-funktionen på korte segmenter af den kritiske linje

A. A. Karatsuba bidrog også med en række resultater om fordelingen af nuller på "korte" intervaller af den kritiske linje [37] . Han beviste, at en analog af Selberg-formodningen er gyldig for "næsten alle" intervaller , , hvor er et vilkårligt lille fast positivt tal. A. A. Karatsuba udviklede (1992) en ny tilgang til studiet af nullerne i Riemann zeta-funktionen på "ultra-korte" intervaller af den kritiske linje, det vil sige på intervaller, hvis længde vokser langsommere end nogen, selv vilkårligt lille, grad . Især beviste han, at for ethvert givet tal , med betingelsen, indeholder næsten alle intervaller ved mindst nuller af funktionen . Dette skøn er meget tæt på det, der følger af Riemann-hypotesen . $\zeta (s)$ $(T,T+H]$ $H=T^{{\varepsilon ))$ $\varepsilon$ $(T,T+H]$ $H$ $T$ $\varepsilon$ $\varepsilon_{1}$ $0<\varepsilon ,\varepsilon _{{1}}<1$ $(T,T+H]$ $H\geq \exp {\{(\ln T)^{{\varepsilon }}\}}$ $H(\ln T)^{{1-\varepsilon _{{1}}}}$ $\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$

Nuller af lineære kombinationer af Dirichlet el-serien

A. A. Karatsuba skabte en ny metode [38] [39] [40] til at studere nullerne af funktioner, der kan repræsenteres som lineære kombinationer af Dirichlet-serier . Det enkleste eksempel på en funktion af denne art er Davenport - Heilbronn -funktionen , defineret af ligheden $L$

f(s)={\tfrac {1}{2}}(1-i\kappa )L(s,\chi )+{\tfrac {1}{2}}(1\,+\,i\kappa )L(s,{\bar {\chi )))

hvor er et ikke-hovedtegn modulo ( , , , , , for enhver ), $\chi$ $5$ $\chi(1)=1$ $\chi (2)=i$ $\chi (3)=-i$ $\chi(4)=-1$ $\chi(5)=0$ $\chi (n+5)=\chi (n)$ $n$

\kappa ={\frac {{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}-2}{{\sqrt {5}}-1}}.

For Riemann-hypotesen er forkert, men den kritiske linje indeholder ikke desto mindre unormalt mange nuller. $f(s)$ $Re\ s={\tfrac {1}{2}}$

A. A. Karatsuba konstaterede (1989), at intervallet , , indeholder mindst $(T,T+H]$ $H=T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/2}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

funktion nuller . Lignende resultater blev også opnået af A. A. Karatsuba for lineære kombinationer indeholdende et vilkårligt (finite) antal led; eksponenten erstattes af et mindre tal afhængigt af typen af lineær kombination. $f{\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}$ ${\tfrac {1}{2))$ $\beta$

Zeta-funktionens nulgrænse og det flerdimensionale Dirichlet-divisorproblem

A. A. Karatsuba kom med et fundamentalt nyt resultat [41] i det multidimensionelle problem med Dirichlet divisorer, som er relateret til at finde løsninger på uligheden i naturlige tal for . For der er en asymptotisk formel for formen $x\til +\infty$ $D_{{k}}(x)$ $x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x$ $x_{{1}},\ldots ,x_{{k}}$ $D_{{k}}(x)$

D_{{k}}(x)=xP_{{k-1}}(\ln x)+R_{{k}}(x)

hvori er et polynomium af th grad, hvis koefficienter afhænger af og kan findes eksplicit, og er et restled, hvis alle kendte (før 1960) estimater var af formen $P_{{k-1}}(u)$ $(k-1)$ $k$ $R_{{k}}(x)$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

hvor og er absolutte positive konstanter. $\alpha ={\frac {1}{ak+b}}$ $a,b,c$

A. A. Karatsuba opnåede et mere nøjagtigt estimat , hvor værdien havde en størrelsesorden og faldt meget langsommere end i tidligere estimater. A. A. Karatsubas skøn er ensartet i og ; især størrelsen kan vokse, efterhånden som den vokser (som en vis magt af logaritmen ). (Et lignende, men svagere resultat blev opnået i 1960 af den tyske matematiker H. E. Richert, hvis arbejde forblev ukendt for sovjetiske matematikere indtil i det mindste midten af 1970'erne). $R_{{k}}(x)$ $\alfa (k)$ $k^{{-2/3}}$ $\alfa (k)$ $x$ $k$ $k$ $x$ $x$

Udledningen af estimatet er baseret på en række udsagn, der i det væsentlige er ækvivalente med sætningen om grænsen af nuller i Riemann zeta-funktionen opnået ved metoden fra I. M. Vinogradov , det vil sige sætningen om, hvad der ikke har nogen nuller i regionen $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-{\frac {c}{(\ln |t|)^{{2/3}}(\ln \ln |t|)^{{1/3}}}},\ quad|t|>10

A. A. Karatsuba etablerede [42] [43] (2000) et omvendt forhold mellem estimater af mængder og adfærd nær den rette linje . Især beviste han, at hvis er en vilkårlig ikke-forøgende funktion med betingelsen , således at for hele skønnet $R_{{k}}(x)$ $\zeta (s)$ $Re\s=1$ $\alfa (y)$ $1/y\leq \alpha (y)\leq 1/2$ $k\geq 2$

|R_{{k}}(x)|\leq x^{{1-\alpha (k)}}(c\ln x)^{{k}}

har så ingen nuller i regionen $\zeta (s)$

Re\ s\geq 1-c_{{1))\,{\frac {\alpha (\ln |t|)}{\ln \ln |t|}},\quad |t|\geq e^{ {2}}

( er absolutte konstanter). $c,c_{{1}}$

Nedre grænser for zeta-funktionens maksimale modul i små områder af det kritiske bånd og på små intervaller af den kritiske linje

A. A. Karatsuba introducerede og studerede [44] [45] funktionerne og defineret af lighederne $F(T;H)$ $G(s_{{0}};\Delta)$

F(T;H)=\max _{{|tT|\leq H}}{\bigl |}\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}{ \bigr |},\quad G(s_{{0}};\Delta )=\max _{{|s-s_{{0}}|\leq \Delta }}|\zeta (s)|.

Her er et tilstrækkeligt stort positivt tal, , , , . De nedre grænser for og viser, hvor store (i absolut værdi) værdier kan tage på korte segmenter af den kritiske linje eller i små områder af punkter, der ligger i det kritiske bånd . Sagen var tidligere blevet undersøgt af Ramachandra; tilfældet hvor er en tilstrækkelig stor konstant er trivielt. $T$ $0<H\ll \ln \ln T$ $s_{{0}}=\sigma _{{0}}+iT$ ${\tfrac {1}{2}}\leq \sigma _{{0}}\leq 1$ $0<\Delta <{\tfrac {1}{3}}$ $F$ $G$ $\zeta (s)$ $0\leq Re\s\leq 1$ $H\gg \ln \ln T$ $\Delta >c$ $c$

A. A. Karatsuba beviste især, at hvis mængderne og overstiger nogle tilstrækkeligt små konstanter, så er estimaterne $H$ $\Delta$

F(T;H)\geq T^{{-c_{{1}}}},\quad G(s_{{0}};\Delta )\geq T^{{-c_{{2}}} },

hvor er nogle absolutte konstanter. $c_{{1}},c_{{2}}$

Opførsel af argumentet for zeta-funktionen på den kritiske linje

A. A. Karatsuba opnåede en række nye resultater [46] [47] vedrørende funktionens opførsel , kaldet argumentet for Riemann zeta-funktionen på den kritiske linje (her stigningen af en vilkårlig kontinuerlig gren langs den stiplede linje, der forbinder punkterne og ). Blandt dem er sætninger om middelværdierne af en funktion og dens antiafledte på segmenter af den reelle linje, såvel som sætningen, som ethvert interval ved indeholder mindst $S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg {\zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )))$ $\arg \zeta (s)$ $2.2+det$ ${\tfrac {1}{2}}+det$ $S(t)$ $S_{{1}}(t)=\int _{{0}}^{{t}}S(u)du$ $(T,T+H]$ $H\geq T^{{27/82+\varepsilon }}$

H(\ln T)^{{1/3}}e^{{-c{\sqrt {\ln \ln T))))

punkter for ændring af fortegn for funktionen . Tidligere blev lignende resultater etableret af A. Selberg for sagen . $S(t)$ $H\geq T^{{1/2+\varepsilon }}$

Karakterer af Dirichlet

Estimater for korte summer af tegn i endelige felter

I slutningen af 1960'erne A. A. Karatsuba, mens han estimerede korte tegnsummer, skabte [ 48] en ny metode, der gjorde det muligt at opnå ikke-trivielle estimater for korte tegnsummer i endelige felter . Lade være et fast heltal, være et polynomium irreducible over feltet af rationelle tal, være roden af ligningen , være en forlængelse af feltet , være grundlaget for , , , . Lad yderligere være et tilstrækkeligt stort primtal, således at det er irreducible modulo , være et Galois-felt med basis , og være en ikke-principal Dirichlet-karakter af feltet . Lad endelig være nogle ikke-negative heltal, være sættet af elementer i Galois-feltet , $n\geq 2$ $F(x)=x^{{n}}+a_{{n-1}}x^{{n-1}}+\ldots +a_{{1}}x+a_{{0}}$ $\mathbb {Q}$ $\theta$ $F(\theta )=0$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\mathbb {Q}$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$ ${\mathbb {Q}}(\theta )$ $\omega _{{1}}=1$ $\omega _{{2}}=\theta$ $\omega _{{3}}=\theta ^{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}=\theta ^{{n-1}}$ $s$ $F(x)$ $s$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\omega _{{1}},\omega _{{2}},\ldots ,\omega _{{n}}$ $\chi$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$ $\nu _{{1}},\ldots ,\nu _{{n}}$ $D(X)$ ${\bar {x}}$ ${\mathrm {GF}}(p^{{n}})$

{\bar {x}}=x_{{1}}\omega _{{1}}+\ldots +x_{{n}}\omega _{{n}}

sådan, at for enhver , , gælder følgende uligheder: $jeg$ $1\leq i\leq n$

\nu _{{i}}<x_{{i}}<\nu _{{i}}+X

A. A. Karatsuba beviste, at for enhver fast , , og vilkårlig med betingelsen $k$ $k\geq n+1$ $x$

p^{{{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{4k}}}}\leq X\leq p^{{{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4k}}}}

retfærdig vurdering:

{\biggl |}\sum \limits _{({\bar {x}}\in D(X)))\chi ({\bar {x}}){\biggr |}\leq c{\Bigl ( }X^{{1-{\frac {1}{k))))p^{({\frac {1}{4k))+{\frac {1}{4k^{{2)))) }}{\Bigr )}^{{\!\!n}}(\ln p)^{{\gamma }}),

hvor , og konstanten afhænger kun af og grundlaget . $\gamma ={\frac {1}{k}}(2^{{n+1}}-1)$ $c$ $n$ $\omega _{{1}},\ldots ,\omega _{{n}}$

Estimater for lineære summer af tegn i form af forskudte primtal

A. A. Karatsuba udviklede en række nye tricks, hvis brug sammen med I. M. Vinogradovs metode til at estimere summer med primtal gjorde det muligt for ham i 1970 at opnå [49] [50] et skøn for summen af værdier af en ikke- hovedtegn modulo et primtal på en sekvens af forskudte primtal, nemlig et estimat af formen $q$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k){\biggr |}\leq cNq^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}} {1024}}}},

hvor er et heltal med betingelsen , er et vilkårligt lille fast tal, , og konstanten afhænger kun af . $k$ $k\not \equiv 0{\pmod {q}}$ $\varepsilon$ $N\geq q^{{1/2+\varepsilon }}$ $c$ $\varepsilon$

Denne påstand er en væsentlig styrkelse af I. M. Vinogradovs skøn, som er ikke-trivielt for . $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$

I 1971, på den internationale konference om talteori dedikeret til 80-året for fødslen af I. M. Vinogradov , bemærkede akademiker Yu. V. Linnik følgende:

Meget vigtige er undersøgelserne af I. M. Vinogradov inden for asymptotik af Dirichlet-karakterer i forskudte primtal , som gav et magt-lov fald i sammenligning med allerede ved , , hvor er karakterens modul. Dette skøn er af fundamental betydning, da det overgår i dybden, hvad den direkte anvendelse af den udvidede Riemann-hypotese giver , og tilsyneladende i denne retning er sandheden dybere end den angivne hypotese (hvis hypotesen er korrekt). For nylig lykkedes det A. A. Karatsuba at forbedre dette skøn. $\sum \limits _{{p\leq N}}\chi (p+k)$ $N$ $N\geq q^{{3/4+\varepsilon }}$ $\varepsilon >0$ $q$

Dette resultat blev overført af A. A. Karatsuba til det tilfælde, hvor primtallene løber gennem en aritmetisk progression, hvis forskel øges med modulet . $s$ $q$

Estimater for tegnsummer i polynomier med simpelt argument

A. A. Karatsuba [48] [51] opnåede en række estimater for summen af Dirichlet-tegn af polynomier af anden grad for det tilfælde, hvor argumentet for polynomiet løber over en kort sekvens af på hinanden følgende primtal. Lad for eksempel være et tilstrækkeligt stort primtal, , hvor og er heltal, der opfylder betingelsen , og lad betegne Legendre-symbolet , så for enhver fast betingelse og for summen , $q$ $f(x)=(xa)(xb)$ $-en$ $b$ $ab(ab)\ikke \equiv 0{\pmod {q}}$ $\venstre({\frac {n}{q}}\højre)$ $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $N>q^{{3/4+\varepsilon }}$ $S_{{N}}$

S_{{N}}=\sum \limits _{{p\leq N}}{\biggl (}{\frac {f(p)}{q}}{\biggr )},

retfærdig vurdering:

|S_{{N}}|\leq c\pi (N)q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{100}}}}

(her løber successive primtal igennem, er antallet af primtal ikke overstiger , og er en konstant kun afhængig af ). $s$ $\pin)$ $N$ $c$ $\varepsilon$

Et lignende skøn blev også opnået af A. A. Karatsuba for det tilfælde, hvor en sekvens af primtal, der tilhører en aritmetisk progression, løber igennem, hvis forskel kan vokse med modulet . $s$ $q$

A. A. Karatsuba formodede, at et ikke-trivielt estimat af summen for , "lille" i sammenligning med , forbliver gyldigt, selvom vi erstatter det med et vilkårligt polynomium af th grad, som ikke er en kvadratisk modulo . Denne hypotese er endnu ikke blevet bevist. $S_{{N}}$ $N$ $q$ $f(x)$ $n$ $q$

Nedre grænser for summer af tegn i polynomier

A. A. Karatsuba konstruerede [ 52] en uendelig sekvens af primtal og en sekvens af gradpolynomier med heltalskoefficienter, således at de ikke er en perfekt kvadratisk modulo , $s$ $f(x)$ $n$ $f(x)$ $s$

{\frac {4(p-1)}{\ln p}}\leq n\leq {\frac {8(p-1)}{\ln p)),

og dem der

\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right)=p.

Med andre ord, for enhver værdi viser det sig at være en kvadratisk rest modulo . Dette resultat viser, at A. Weyls skøn $x$ $f(x)$ $s$

{\biggl |}\sum \limits _{{x=1}}^{{p}}\left({\frac {f(x)}{p}}\right){\biggr |}\leq ( n-1){\sqrt{p))

man kan ikke forbedre for meget og erstatte højre side af den sidste ulighed, f.eks. med værdien , hvor er en absolut konstant. $C{\sqrt {n}}{\sqrt {p}}$ $C$

Karakter summer på additive sekvenser

A. A. Karatsuba foreslog en ny metode [53] [54] , der gør det muligt at finde meget nøjagtige estimater for summen af værdier af ikke-principielle Dirichlet-tegn på additive sekvenser, det vil sige på sekvenser bestående af tal på formen , hvor variablerne og uafhængigt af hinanden kører henholdsvis nogle sæt og . $x+y$ $x$ $y$ $EN$ $B$

Det mest slående eksempel på resultater af denne art er følgende påstand, som finder anvendelse ved løsning af en bred klasse af problemer relateret til summeringen af værdierne af Dirichlet-karakterer. Lade være et vilkårligt lille fast tal, , være et tilstrækkeligt stort primtal, og være et ikke-hovedtegn modulo . Lad, yderligere, og være vilkårlige delmængder af det komplette system af rester modulo , der kun opfylder betingelserne , . Så sker følgende skøn: $\varepsilon$ $0<\varepsilon <{\tfrac {1}{2}}$ $q$ $\chi$ $q$ $EN$ $B$ $q$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ $\|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{x\in A}}\sum \limits _{{y\in B}}\chi (x+y){\biggr |}\leq c\|A\ |\cdot \|B\|q^{{-{\frac {\varepsilon ^{{2}}}{20}}}},\quad c=c(\varepsilon )>0.

Metoden til A. A. Karatsuba gør det muligt at opnå ikke-trivielle skøn over beløb af denne art og i nogle tilfælde, når ovenstående betingelser på sættene og erstattes af andre, for eksempel: , $EN$ $B$ $\|A\|>q^{{\varepsilon ))$ ${\sqrt {\|A\|}}\cdot \|B\|>q^{{1/2+\varepsilon }}.$

I det tilfælde, hvor og er sæt af primtal af segmenter henholdsvis og , , er der et estimat af formen: $EN$ $B$ $(1,X]$ $(1,Y]$ $X\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$ $Y\geq q^{{1/4+\varepsilon }}$

{\biggl |}\sum \limits _{{p\leq X}}\sum \limits _{{p'\leq Y}}\chi (p+p'){\biggr |}\leq c\pi (X)\pi (Y)q^{{-c_{{1}}\varepsilon ^{{2}}}},

hvor er antallet af primtal, der ikke overstiger , , og er en absolut konstant. $\pi (Z)$ $Z$ $c=c(\varepsilon )>0$ $c_{{1}}$

Fordeling af kraftrester og primitive rødder i sparsomme sekvenser

A. A. Karatsuba opnåede [55] [56] (2000) ikke-trivielle estimater for summen af værdier af Dirichlet-tegn "med vægte", det vil sige summen af termer af formen , hvor er en funktion af det naturlige argument. Estimater af denne art bruges til at løse en lang række problemer i talteori relateret til fordelingen af kraftrester (ikke-rester), såvel som primitive rødder i forskellige sekvenser. $\chi (n)f(n)$ $f(n)$

Lad være et heltal, være et tilstrækkeligt stort primtal, , , , hvor , og lad endelig, $k\geq 2$ $q$ $(a,q)=1$ $|a|\leq {\sqrt {q}}$ $N\geq q^{{{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2(k+1)}}+\varepsilon }}$ $0<\varepsilon <\min {\{0.01,{\tfrac {2}{3(k+1)}}\}}$

D_{{k}}(x)=\sum \limits _{{x_{{1}}*\ldots *x_{{k}}\leq x}}1=\sum \limits _{{n\leq x}}\tau _{{k}}(n)

(for det asymptotiske udtryk for se ovenfor, i afsnittet om det multidimensionelle problem med Dirichlet divisorer). For summer og mængder udvidet til værdier, for hvilke tallene er kvadratiske rester (henholdsvis ikke-rester) modulo , opnåede A. A. Karatsuba asymptotiske formler af formen $D_{{k}}(x)$ $V_{{1}}(x)$ $V_{{2}}(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V_{{1}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2}} }}{\bigr )},\quad V_{{2}}(x)={\tfrac {1}{2}}D_{{k}}(x)+O{\bigl (}xq^{{ -0,01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

Tilsvarende får vi for summen af værdier overtaget alle , som er en primitiv rod modulo , et asymptotisk udtryk for formen $V(x)$ $\tau _{{k}}(n)$ $n\leq x$ $(n+a)$ $q$

V(x)=\venstre(1-{\frac {1}{p_{{1))))\right)\ldots \left(1-{\frac {1}{p_{{s)))) \right)D_{{k))(x)+O{\bigl (}xq^{{-0.01\varepsilon ^{{2)))){\bigr )}

hvor er alle prime divisorer af . $p_{{1}},\ldots ,p_{{s}}$ $q-1$

Metoden udviklet af A. A. Karatsuba blev også anvendt af ham til problemer med fordelingen af kraftrester (ikke-rester) i sekvenser af forskudte primtal , tal i formen osv. $p+a$ $x^{{2}}+y^{{2}}+a$

De seneste års værker

I de senere år var han udover forskning inden for talteori (se Karatsuba-effekten [57] [58] ), engageret i nogle problemer inden for teoretisk fysik [59] , herunder inden for kvantefeltteori . Ved at anvende sin ATS-sætning og nogle andre talteoretiske tilgange opnåede han nye resultater [60] [61] i Jaynes-Cummings-modellen i kvanteoptik .

Familie og hobbyer

Hans kone er klassekammerat ved fakultetet for mekanik og matematik ved Moskvas statsuniversitet Diana Vasilievna Senchenko (født 1936), lektor ved Institut for matematiske metoder til økonomisk analyse ved Det Økonomiske Fakultet ved Moskva State University . Datter Ekaterina (født 1963) - Doktor i fysiske og matematiske videnskaber, ledende forsker ved Computing Center. A. A. Dorodnitsyna RAS [62] .

Anatoly Karatsuba dyrkede sport hele sit liv: i sine tidlige år vægtløftning og brydning, derefter bjergbestigning, [63] bjergbestigning, speleologi og bjergturisme. Passerede Krim-murene i Ai-Petri , Kush-Kai , Opolznevoy, Foros og mange andre, deltog i speleologiske ekspeditioner til hulerne i Anakopia (New Athos) , Kaskadnaya, Nazarovskaya.

Elleve gange klatrede han til en højde på mere end 7000 meter og erobrede tinder

toppen af kommunismen (det højeste højdepunkt i USSR) i 1977 og i 1985;
Lenin Peak i 1968 og 1979;
højdepunktet Korzhenevskaya i 1980, 1982, 1983, 1985, 1986, 1988 og 1991,

Fire gange erobret Elbrus . Han foretog ture i bjergene i Kaukasus , Pamirerne og, især i de sidste år af sit liv, Tien Shan i det kirgisiske Ala-Too , Zailiysky Alatau , Terskey og Kungei Ala-Too .

Se også

Noter

↑ 1 2 S. A. Gritsenko, E. A. Karatsuba, M. A. Korolev, I. S. Rezvyakova, D. I. Tolev, M. E. Changa. Videnskabelige resultater af Anatoly Alekseevich Karatsuba. Matematik og informatik, 1. // På 75-årsdagen for Anatoly Alekseevich Karatsubas fødsel . - Moderne. sandsynlighed Mat.. - 2012. - T. 16. - S. 7-30.
↑ Knut D. Kunsten at programmere computer. - 1. udg. - M . : Mir (forlag), 1977. - T. 2. - S. 315. - 724 s.
↑ Moore, E.F. Gedanken-eksperimenter på sekventielle maskiner // Automata Studies, Annals of Mathematical Studies, Princeton University Press, Princeton, NJ,. - 1956. - Nr. 34 . - S. 129-153 .
↑ Karatsuba, A. A. Løsning af et problem fra teorien om finite automater // Uspekhi Mat. - 1960. - Nr. 15: 3 . - S. 157-159 .
↑ 1 2 Karatsuba A. A. Beregningsmæssig kompleksitet // Tr. MIAN. - 1995. - T. 211 . - S. 186-202 .
↑ Karatsuba A., Ofman Yu. Multiplikation af tal med flere værdier på automater // Rapporter fra USSRs Videnskabsakademi. - 1962. - T. 145 , nr. 2 .
↑ Karacuba A. Berechnungen und die Kompliziertheit von Beziehungen (tysk) // Elektronische Informationsverarbeitung und Kybernetik. - 1975. - Bd. 11 .
↑ Knut D. Kunsten at programmere. - 3. udg. - M. : Williams , 2007. - V. 2. Opnåede algoritmer. — 832 s. — ISBN 0-201-89684-2 . .
↑ Schönhage A., Strassen V. Schnelle Multiplikation großer Zahlen // Computing. - 1971. - Nr. 7 . - S. 281-292.
↑ Strassen V. Gaussisk eliminering er ikke optimal // Antal . Math / F. Brezzi - Springer Science + Business Media , 1969. - Vol. 13, Iss. 4. - S. 354-356. — ISSN 0029-599X ; 0945-3245 - doi:10.1007/BF02165411
↑ Jean-Paul Delahaye. Mathematiques et philosophie (fransk) // Pour la Science. - 2000. - Nr. 277 . - S. 100-104 .
↑ G. I. Arkhipov; V. N. Chubarikov. Om det matematiske arbejde af professor A. A. Karatsuba // Proceedings of MIAN . - 1997. - T. 218 . - S. 7-19 .
↑ Karatsuba A. A. Grundlæggende om analytisk talteori // Moskva: Nauka. - 1975.
↑ 1 2 Arkhipov G.I., Karatsuba A.A., Chubarikov V.N. Teori om multiple trigonometriske summer // M.: Nauka. - 1987.
↑ Voronin S. M., Karatsuba A. A. Riemann zeta-funktion // Moskva: Fizmatlit. - 1994.
↑ Karatsuba AA Kompleks analyse i talteori // London, Tokyo: CRC. - 1995.
↑ Karatsuba, A. A. Skøn for trigonometriske summer af en særlig form og deres anvendelser // Dokl. USSR's Videnskabsakademi: tidsskrift. - 1961. - nr. 137:3 . - S. 513-514 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Warings problem til sammenligning modulo en potens af et primtal // Vestn. Moscow State University: tidsskrift. - 1962. - Nr. 1: 4 . - S. 28-38 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Om at estimere antallet af løsninger af nogle ligninger // Dokl. USSR's Videnskabsakademi. - 1965. - Nr. 165: 1 . - S. 31-32 .
↑ Karatsuba, A. A. Systemer af sammenligninger og ligninger af Waring-typen // Dokl. USSR's Videnskabsakademi. - 1965. - Nr. 1: 4 . - S. 274-276 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A., Chubarikov V. N. Trigonometriske integraler // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1979. - T. 43 , nr. 5 . - S. 971-1003 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Middelværdisætninger og komplette trigonometriske summer // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. matematik. : magasin. - 1966. - Nr. 30: 1 . - S. 183-206 . (Russisk)
↑ Vinogradov I. M., Karatsuba A. A. Metode til trigonometriske summer i talteori // Proceedings of MIAN. - 1984. - Nr. 168 . - S. 4-30 .
↑ Arkhipov, G. I. Sætningen om middelværdien af modulet af en multipel trigonometrisk sum // Matem. noter: journal. - 1975. - Nr. 17: 1 . - S. 143-153 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Om funktionen G(n) i Waring-problemet // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1985. - Nr. 49: 5 . - S. 935-947 . (Russisk)
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Multidimensional analog af Waring-problemet // Dokl. USSR's Videnskabsakademi. - 1987. - nr. 295:3 . - S. 521-523 .
↑ Karatsuba AA Warings problem i flere dimensioner // Mathem. Forschungs, Oberwolfach, Tagungsbericht. - 1988. - Nr. 42 . - S. 5-6 .
↑ Arkhipov G. I., Karatsuba A. A. Om den lokale repræsentation af nul ved en form // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat.. - 1981. - nr. 45:5 . - S. 948-961 .
↑ Karatsuba, A. A. Analoges of Kloosterman sums // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1995. - Nr. 59:5 . - S. 93-102 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Analoger af ufuldstændige Kloosterman-summer og deres anvendelser // Tatra Mountains Math. Publ.. - 1997. - Nr. 11 . - S. 89-120 .
↑ Karatsuba, A. A. Dobbelt Kloosterman summer // Matem. noter. - 1999. - Nr. 66: 5 . - S. 682-687 .
↑ Karatsuba, A. A. Nye skøn for korte Kloosterman-summer // Matem. noter. - 2010. - Nr. 88:3 . - S. 384-398 .
↑ Karatsuba, A. A. På nullerne af funktionen ζ(s) på korte intervaller af den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1984. - Nr. 48:3 . - S. 569-584 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Fordeling af nulpunkter for funktionen ζ(1/2 + it) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1984. - nr. 48:6 . - S. 1214-1224 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. På nullerne af Riemann zeta-funktionen på den kritiske linje // Trudy MIAN. - 1985. - Nr. 167 . - S. 167-178 .
↑ Selberg, A. Om nullerne i Riemanns zeta-funktion // Shr. Norske Vid. Akad. Oslo. - 1942. - Nr. 10 . - S. 1-59 .
↑ Karatsuba, A. A. På antallet af nuller i Riemann zeta-funktionen, der ligger på næsten alle korte intervaller af den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1992. - Nr. 56: 2 . - S. 372-397 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. På nullerne af Davenport-Heilbronn-funktionen, der ligger på den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1990. - Nr. 54: 2 . - S. 303-315 . (Russisk)
↑ Karatsuba, AA On Zeros of the Davenport–Heilbronn Function // Proc. Amalfi Conf. Analytisk talteori. - 1992. - S. 271-293 .
↑ Karatsuba, A. A. Om nullerne i aritmetiske Dirichlet-serier, der ikke har et Euler-produkt // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 1993. - Nr. 57:5 . - S. 3-14 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Ensartet skøn over det resterende led i problemet med Dirichlet divisors // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. matematik. : magasin. - 1972. - Nr. 36:3 . - S. 475-483 . (Russisk)
↑ Karatsuba, AA Det flerdimensionelle Dirichlet divisor problem og nul frie områder for Riemann zeta-funktionen // Functiones et Approximatio : journal. - 2000. - Nej. XXVIII . - S. 131-140 .
↑ Karatsuba, A. A. Om forbindelsen mellem det flerdimensionale problem med Dirichlet-divisorer med grænsen for nuller ζ(s) // Matem. noter: journal. - 2001. - Nr. 70: 3 . - S. 477-480 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A., På nedre grænser for maksimum af modulus ζ(s) i små domæner af den kritiske strimmel, Mat. noter: journal. - 2001. - Nr. 70: 5 . - S. 796-798 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. På nedre grænser for det maksimale modul af Riemann zeta-funktionen på korte intervaller af den kritiske linje // Izvestiya RAN. Matematisk serie. : magasin. - 2004. - Nr. 68: 8 . - S. 99-104 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Tæthedssætning og adfærden af argumentet for Riemann zeta-funktionen // Matem. noter. - 1996. - Nr. 60: 3 . - S. 448-449 .
↑ Karatsuba, A. A. Om funktionen S(t) // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 1996. - Nr. 60: 5 . - S. 27-56 . (Russisk)
↑ 1 2 Karatsuba, A. A. Summer af tegn og primitive rødder i endelige felter // Dokl. USSR's Videnskabsakademi: tidsskrift. - 1968. - nr. 180:6 . - S. 1287-1289 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Om skøn over tegnsummer // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat.. - 1970. - nr. 34:1 . - S. 20-30 .
↑ Karatsuba, A. A. Summer af tegn med primtal // Izv. USSR's Videnskabsakademi. Ser. Mat.. - 1970. - Nr. 34:2 . - S. 299-321 .
↑ Karatsuba, A. A. Summer af tegn over en sekvens af forskudte primtal og deres anvendelser // Matematik. noter: journal. - 1975. - Nr. 17: 1 . - S. 155-159 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Om nedre grænser for summer af tegn i polynomier // Matem. noter. - 1973. - Nr. 14: 1 . - S. 67-72 .
↑ Karatsuba, A. A. Fordeling af kraftrester og ikke-rester i additive sekvenser // Dokl. USSR's Videnskabsakademi: tidsskrift. - 1971. - nr. 196:4 . - S. 759-760 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Fordeling af værdier af Dirichlet-karakterer på additive sekvenser // Dokl. USSR's Videnskabsakademi: tidsskrift. - 1991. - Nr. 319:3 . - S. 543-545 . (Russisk)
↑ Karatsuba, AA Summer af tegn med primtal og deres anvendelser // Tatra Mountains Math. Publ. : journal. - 2000. - Nej. 20 . - S. 155-162 .
↑ Karatsuba, A. A. Summer af tegn med vægte // Izvestiya RAN. Matematisk serie. . - 2000. - Nr. 64: 2 . - S. 29-42 . (Russisk)
↑ Karatsuba, A. A. Om en egenskab for sættet af primtal // Uspekhi Matematheskikh Nauk. - 2011. - T. 66 , nr. 2 (398) . - S. 3-14 .
↑ Karatsuba, A. A. Om en egenskab ved sættet af primtal som et multiplikativt grundlag for den naturlige serie // Rapporter fra Videnskabsakademiet: tidsskrift. - 2011. - T. 439 , nr. 2 . - S. 1-5 . (Russisk)
↑ AA Karatsuba, EA Karatsuba. Fysisk matematik i talteori // Funktionsanalyse og anden matematik. - 2010. - doi : 10.1007/s11853-010-0044-5 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA Anvendelse af ATS i en kvante-optisk model // Analysis and Mathematical Physics: Trends in Mathematics. - 2009. - S. 211-232 .
↑ Karatsuba AA, Karatsuba EA En genoptagelsesformel for kollaps og genoplivning i Jaynes-Cummings-modellen // J. Phys . A: Matematik. Theor. : journal. - 2009. - Nej. 42 . - S. 195304, 16 . - doi : 10.1088/1751-8113/42/19/195304 .
↑ Ekaterina Karatsuba . Hentet 25. april 2018. Arkiveret fra originalen 8. juni 2018. (ubestemt)
↑ Bashkirov Vladimir Leonidovich: Bersærk Bashkirov. Del et. . Hentet 15. marts 2011. Arkiveret fra originalen 19. maj 2014. (ubestemt)

Links

Liste over videnskabelige artikler på MIAN- webstedet (dato for adgang: 24. september 2009)
Data om videnskabelige interesser, uddannelse og faglige aktiviteter (Dato for adgang: 24. september 2009)
Arkhipov G. I. , Chubarikov V. N. Anatoly Alekseevich Karatsuba

Tematiske steder

I bibliografiske kataloger
BIBSYS: 90293228 BNF : 124713866 GND : 1024789535 ICCU : UFIV062685 ISNI : 0000 0001 0902 4998 J9U : 987007423961405171 LCCN : n80106990 NKC : jx20061125010 NTA : 084809418 NUKAT : n98022568 SUDOC : 033903808 VIAF : 54247158 WorldCat VIAF : 54247158