Weirs kanoniske form

Den kanoniske Weir -form ( Weir- form , Weir -matrix , modificeret Jordan-form , omarrangeret Jordan-form , anden Jordan-form , H-form [1] ) er en kvadratisk matrix , der opfylder visse betingelser, introduceret af den tjekkiske matematiker Eduard Weyr ( tjekkisk. Eduard Weyr ) i 1885 [2] [3] [4] .

Formen blev ikke udbredt i matematisk forskning, da den i stedet blev brugt tæt i formålet, men forskellig fra den, den kanoniske form af Jordan [4] , på grund af den lave popularitet af formen, blev den genopdaget flere gange [5] . Formen vandt berømmelse i slutningen af 1990'erne og begyndelsen af 2000'erne på grund af dens brug i bioinformatik til fylogenetiske invarianter.

Definitioner

Weir elementær matrix

En elementær Weir-matrix med en egenværdi er en matrix af følgende form: $\lambda$ $n\ gange n$ $W$

Lad en skillevæg blive givet

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n

numre , hvor sådan, at når betragtes som en blok- matrix , hvor den -th blok er en matrix , og følgende tre betingelser er opfyldt:

n

n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1

W

r\times r

(W_{ij})

(i, j)

{\displaystyle W_{ij))

{\displaystyle n_{i}\ gange n_{j))

Blokkene i hoveddiagonalen er skalarmatricer , hvor . ${\displaystyle W_{ii))$ ${\displaystyle n_{i}\ gange n_{i))$ $\lambda I$ $i=1,\ldots ,r$
Blokkene i den første superdiagonal er matricer med fuld kolonnerangering , med en række- trinsform (det vil sige en identitetsmatrix efterfulgt af nul rækker), hvor . $W_{i,i+1}$ $n_{i}\ gange n_{i+1}$ $i=1,\ldots ,r-1$
Alle andre blokke i matricen er nul (det vil sige hvor ). $W$ $W_{ij}=0$ $j\neq i,i+1$

I dette tilfælde siges det at have en Weir-struktur . $W$ $(n_{1},n_{2},\ldots,n_{r})$

Et eksempel på en elementær Weir-matrix:

W={}

{}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\ \end{bmatrix}}.

I denne matrix og . Matrixen har således en Weir-struktur . Også $n=10$ $n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1$ $W$ $(4,2,2,1)$

W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix))=\lambda I_{4}, \quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix} \lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{1}

W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix)),\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.

General Weir matrix

Lad være en kvadratisk matrix , og være forskellige egenværdier af matrixen . Det siges, at det er en Weir-form (eller en Weir-matrix), hvis den har følgende form: $W$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k))$ $W$ $W$ $W$

W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix)),

hvor er den elementære Weir form med egenværdi , hvor . $W_i$ $\lambda _{i}$ $i=1,\ldots ,k$

Ansøgninger af Weyr-formularen

Nogle bemærkelsesværdige anvendelser af Weir-formularen [4] er:

Weir-formen kan bruges til at forenkle beviset for Gerstenhabers sætning, som siger, at subalgebraen genereret af to pendlingsmatricer højst har dimension . $n\ gange n$ $n$
Et sæt af endelige matricer siges at være tilnærmelsesvis fælles diagonaliserbare, hvis de kan forstyrres til fælles diagonaliserbare matricer. Weirs form bruges til at bevise den omtrentlige fælles diagonalisering af forskellige klasser af matricer. Egenskaben omtrentlig leddiagonaliserbarhed bruges i studiet af fylogenetiske invarianter i bioinformatik .
Weirs form kan bruges til at forenkle beviser for irreducerbarheden af en bestemt serie af alle mulige k -tupler fra pendlingsmatricer.

Noter

↑ Moderne terminologi blev etableret i 1999 efter udgivelsen af: Shapiro, H. The Weyr characteristic (engelsk) // The American Mathematical Monthly : journal. - 1999. - Bd. 106 . - P. 919-929 .
↑ Edward Weyr. Répartition des matrices en espèces et formation de toutes les espèces (fransk) // Comptes Rendus, Paris: magasin. - 1985. - Bd. 100 . - S. 966-969 .
↑ Edward Weyr. Zur Theorie der bilinearen Formen (neopr.) // Monatsh. Matematik. fysisk. - 1980. - T. 1 . - S. 163-236 .
↑ 1 2 3 Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Avancerede emner i lineær algebra : vævning af matrixproblemer gennem Weyr-formularen . — Oxford University Press , 2011.
↑ Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Avancerede emner i lineær algebra : vævning af matrixproblemer gennem Weyr-formularen . - Oxford University Press , 2011. - S. 44 , 81-82.