Problemet med retfærdig fordeling af genstande

Retfærdig fordeling af objekter er en type retfærdig opdelingsproblem , hvor de objekter, der skal fordeles mellem deltagerne, er udelelige . Objekter bør fordeles mellem partnere, der vurderer objekter forskelligt, og hver genstand bør gives som en helhed til én deltager. Denne situation opstår i flere virkelige scenarier:

flere arvinger ønsker at dele arven , som for eksempel omfatter et hus, en bil, et klaver og flere malerier;
flere undervisere beslutter at dele de kurser, der gives på deres fakultet. Hver underviser kan undervise i et eller flere kurser, men kun hele kurset; flere undervisere kan ikke læse ét kursus.

Det følger af udeleligheden af objekter, at en retfærdig opdeling muligvis ikke er mulig. Et ekstremt eksempel er tilfældet, når der kun er én genstand (f.eks. et hus), den skal gives til én deltager, men de andre deltagere vil ikke betragte en sådan beslutning som rimelig. Dette er i modsætning til fair kageskæringsproblemet , hvor genstanden kan opdeles, og der er en rimelig løsning på problemet. I nogle tilfælde kan problemet med udelelighed afbødes ved indførelse af kontante betalinger , rotationer eller afvisning af nogle objekter, [1] , men sådanne løsninger er ikke altid mulige.

Opgaven med at distribuere objekter har flere komponenter:

Deltagerne skal udtrykke deres præferencer for forskellige sæt objekter.
Gruppen skal beslutte, hvad rimelighedskriteriet skal være .
Baseret på præferencer og kriteriet om retfærdighed bør en fair distributionsalgoritme implementeres for at bestemme den mest retfærdige løsning på problemet.

Disse komponenter er forklaret i detaljer nedenfor.

Præferencer

Kombinatoriske præferencer

Den naturlige måde at bestemme præferencer på er at bede hver deltager om at tildele et nummer til hvert muligt sæt elementer, det vil sige at angive dets værdi i numeriske termer. For eksempel, hvis objekterne, der skal distribueres, er en bil og en motorcykel, kan deltagerne vurdere en bil til 800, en motorcykel til 200 og et sæt {bil, motorcykel} til 900 (se artiklen Hjælpefunktioner om udelelige varer for flere eksempler). Der er to problemer med disse tilgange:

Det kan være svært for en deltager at beregne den nøjagtige numeriske værdi af et sæt elementer.
Antallet af mulige sæt kan være enormt - hvis der er varer, så er der mulige sæt. For eksempel, hvis der er 16 elementer, så skal hver deltager indsende deres præferencer ved at indtaste 65536 numre. $m$ $2^{m}$

Det første problem tilskynder til brugen af ordinal nytte frem for kvantitativ nytte . I en ordinær model skal hver deltager kun vise en rangordning over forskellige sæt, det vil sige, hvilket sæt objekter der er bedst, hvilket sæt objekter der er på andenpladsen osv. Dette kan være lettere at beregne nøjagtige tal, men er fortsat svært, hvis antallet af genstande er stort. $2^{m}$

Det andet problem løses ofte ved at arbejde med individuelle objekter i stedet for samlinger af objekter:

Med en numerisk tilgang skal hver deltager rapportere en numerisk vurdering af hvert objekt;
Med en ordinær tilgang skal hver deltager indberette placeringen af objekter (ordre efter værdi), det vil sige, hvilken genstand der er mest værdifuld, hvilken der er på andenpladsen osv.

Under nogle antagelser er det muligt at hæve objektpræferencer til objektsætpræferencer [2] . Derefter rapporterer agenterne deres score/rangering på individuelle objekter, og algoritmen beregner score/rangering på sæt af objekter for objekterne.

Additive præferencer

For at gøre opgaven med at allokere objekter lettere, antages det ofte, at alle objekter er uafhængige (således er de hverken udskiftelige eller komplementære ) [3] . Derefter

I en numerisk tilgang har hver deltager en additiv hjælpefunktion (også kaldet en modulær hjælpefunktion ). Når en agent rapporterer værdien af hvert enkelt objekt, er det nemt at beregne værdien af et sæt ved at summere værdierne af dets bestanddele.
Med en ordinær tilgang giver additivitet os mulighed for at foretage en rækkefølge af sæt. For eksempel, hvis en deltager foretrækker objekter i rækkefølgen w > x > y > z, så vil han nødvendigvis foretrække {w, x} frem for sættet {w, y} eller sættene {x, y} og {w, y} til sættet {x}. Disse konklusioner er kun delvise, for eksempel kan vi ikke vide, om agenten ville foretrække sættet {w} frem for sættet {x, y} eller endda sættet {w, z} frem for sættet {x, y} [4] [5] .

Additivitet indebærer, at hver deltager altid kan vælge et "foretrukken objekt" fra sættet af objekter på bordet, og dette valg er uafhængigt af andre objekter, som deltageren måske allerede har. Denne egenskab bruges i nogle fair division algoritmer, som vil blive beskrevet nedenfor [6] .

Kompakte præferencerepræsentationssprog

Kompakte præferencerepræsentationssprog blev designet som et kompromis mellem den fulde udtryksevne af kombinatoriske præferencer og enkelheden af additive præferencer. De giver en kortfattet repræsentation af nogle naturlige klasser af nyttefunktioner, der er mere generelle end additiv nytte (men ikke så generelle som kombinatorisk nytte). Nogle eksempler er [7]

2-additive præferencer - Hver deltager rapporterer en værdi for hvert sæt af størrelse 1 eller 2. Værdien af sættet beregnes som summen af værdierne af de individuelle objekter i sættet plus værdierne af parrene i sættet. Typisk, når der er erstatningsobjekter, vil parværdierne være negative, og når der er komplementære objekter, vil parværdierne være positive. Denne idé kan generaliseres til k-additive præferencer for ethvert positivt heltal k .
Grafiske modeller - for hver deltager er der en graf, der repræsenterer afhængighederne mellem forskellige objekter. Med en numerisk tilgang er det sædvanlige værktøj GAI net ( Generaliseret Additiv Uafhængighed ) . Med en ordinær tilgang er det sædvanlige værktøj CP net (betinget præferencer, eng. Betingede præferencer ) og dets udvidelser TCP net , UCP net , CP teori , CI net (betinget betydning, eng. Betinget betydning ) og SCI net (forenkling af CI net eng. en forenkling af CI net ).
Logik-baserede sprog - hver deltager beskriver nogle sæt ved hjælp af første-ordens logiske formler og kan tildele en værdi til hver formel. For eksempel kan en deltager sige: "For (x eller (y og z)) vil min værdi være 5." Dette betyder, at agenten tildeler en værdi på 5 til ethvert sæt af: x, xy, xz, yz, xyz.
Budgivningssprog - Mange sprog er blevet undersøgt for at repræsentere kombinatoriske præferencer i forbindelse med kombinatoriske auktioner . Nogle af disse sprog kan tilpasses betingelserne for at distribuere objekter.

Kriterium for retfærdighed

Individuelle garantikriterier

Et individuelt garantikriterium er et kriterium, der skal være opfyldt for hver enkelt deltager, hvis deltageren ærligt angiver sine præferencer. Fem sådanne kriterier er præsenteret nedenfor. De er ordnet fra den svageste til den stærkeste (forudsat at estimaterne er additive) [8] :

1. Max-min fair share ( engelsk Max-min fair-share , MFS ): Max-min fair share (også kaldet max-min garanterede andel) af en agent er det mest foretrukne sæt, som en agent kan garantere sig selv, hvis han er en splittende part i Delhi-og-vælg- . En allokering siges at være MFS-fair, hvis en agent modtager et sæt, der er lidt at foretrække frem for dens MFS [9] . En agents MFS kan tolkes som den maksimale nytte, en agent kan håbe på at opnå ved en distribution, når alle andre agenter har de samme præferencer, hvis agenten altid får den dårligste andel. Dette kan opfattes som den minimale mængde nytte, som en agent kan forvente baseret på følgende ræsonnement: hvis alle andre agenter har de samme præferencer som mig, er der mindst én distribution, der giver mig denne nytte og gør alle andre agenter ( lidt) rigere. Derfor er der ingen grund til at give mig mindre. Dette er også den maksimale nytte, agenten kan være sikker på i fordelingsspillet "Jeg skærer, jeg plukker sidst" - agenten tilbyder den bedste distribution og lader resten af deltagerne vælge deres andele, mens han selv modtager resterende andel [8] . MFS fairness kan også beskrives som resultatet af den følgende forhandlingsproces. En vis fordeling foreslås. Hver agent kan gøre indsigelse ved at foreslå en anden partition af elementerne. Men ved at gøre dette skal han tillade alle andre agenter at vælge deres aktier, før han tager sine egne. Derfor vil en agent kun gøre indsigelse mod en distribution, hvis den kan tilbyde en partition i sæt, der alle er bedre end det aktuelle sæt. Fordelingen er MFS-fair, hvis og kun hvis ingen af agenterne protesterer, det vil sige for nogen agent i en partition, er der et sæt, der er lidt dårligere end dets nuværende andel.

2. Proportional fair share ( engelsk proportional division fair-share , PFS) : Agentens proportionale rimelige andel er lig med 1/ n nytte fra hele sættet af varer. En fordeling siges at være proportional , hvis alle agenter modtager sæt, som agenterne værdsætter mindst en rimelig proportional andel.

3. Fair Min-max-share ( eng. min-max-fair-share , mFS): En agents fair Min-max-andel er lig med den minimale nytte, som agenten håber at modtage fra distributionen, hvis andre agenter har de samme præferencer som denne agent, og hvis agenten altid får den bedste andel. Denne andel er også lig med den minimale nytte, som agenten kan få i distributionsspillet "En anden skærer, jeg vælger først." En fordeling er mFS-fair , hvis alle agenter modtager et sæt objekter, som de lidt foretrækker deres mFS [8] . mFS fairness kan beskrives som resultatet af følgende forhandlingsproces. En vis fordeling foreslås. Hver agent kan kræve, at en anden tildeling foretages af en anden agent ved løsning, så den indsigende agent vælger først. Derfor vil agenten kun gøre indsigelse mod distributionen, hvis der er et sæt i alle partitioner, som den stærkt foretrækker frem for det aktuelle sæt. En allokering er mFS-fair, hvis og kun hvis ingen af agenterne gør indsigelse mod den, dvs. for nogen agent, der eksisterer en partition, hvor alle sæt er lidt dårligere end hans nuværende andel.

For enhver agent med subadditiv nytte koster mFS mindst . Derfor er enhver mFS-fair fordeling proportional. For enhver agent med superadditiv nytte står MFS i bedste fald . Derfor er enhver fordeling MFS-retfærdig. Begge implikationer er stærke, selv når ethvert middel har additiv nytte . Dette er illustreret i følgende eksempel [8] : $1/n$ $1/n$

Der er 3 agenter og 3 genstande:

Alice vurderer elementer som 2, 2, 2. For hende er MFS=PFS=mFS=2.
Bob vurderer elementer som 3, 2, 1. For ham er MFS=1, PFS=2 og mFS=3.
Karl vurderer emner som 3, 2, 1. For ham er MFS=1, PFS=2 og mFS=3.

En mulig fordeling er som følger:

Enhver fordeling, der giver et emne til hver deltager, er en MFS-retfærdighed.
Enhver fordeling, der giver det første og andet element til Bob og Carl, og det tredje element til Alice, er proportionalt.
Ingen tildeling vil være mFS-fair.

Ovenstående konklusioner er ikke sande, hvis agenternes skøn ikke er sub/superadditive [10] .

4. Envy -freeness ( EF) : enhver agent foretrækker sit eget sæt frem for ethvert andet sæt. Enhver misundelsesfri distribution af alle varer er mFS-fair. Dette følger direkte af ordensdefinitionerne og afhænger ikke af additivitet. Hvis estimaterne er additive, så er EF-fordelingen også proportional og MFS-fair. Ellers er EF-fordelingen muligvis ikke proportional eller endda MFS [10] . Se Misundelig varedistribution for en detaljeret diskussion.

5. Konkurrenceligevægt fra Equal ( CEEI ) : Kriteriet er baseret på følgende argumenter: distributionsprocessen skal ses som en søgen efter en balance mellem udbud (et sæt objekter, som hver har et offentligt tilgængeligt skøn) og efterspørgsel (agenternes ønsker, hver agent har det samme budget for køb af objekter). Konkurrenceligevægt opnås, når udbuddet matcher efterspørgslen. Retfærdighedsargumentet er enkelt: Priser og budgetter er de samme for alle. Fra CEEI følger EF uanset additivitet. Hvis agenternes præferencer er additive og strenge (hvert sæt har en anden værdi), indebærer CEEI Pareto-effektivitet [8] .

Nogle kriterier for retfærdighed er blevet foreslået for nylig [11] :

6. Misundelse -frihed-undtagen-1 , EF1 : For alle to agenter A og B, hvis vi fjerner fra sæt B det element, der er vigtigst for A, så misunder A ikke B (med andre ord "misundelsesniveauet" på agent A til deltager B ligger i højst ét separat objekt). Under monotoni eksisterer fordelingen EF1 altid.

7. Misundelse-frihed-undtagen-billigst ( EFx ) : For to agenter A og B, hvis vi fjerner fra agent B den genstand, der er mindst værdifuld for agent A, så vil A ikke misunde B. EFx er strengt taget stærkere end EF1. Det vides ikke, om EFx-fordelingen altid eksisterer.

Globalt optimalitetskriterium

Det globale optimalitetskriterium udfører opdeling baseret på en given social velfærdsfunktion :

Den egalitære sociale velfærd er minimumsvelfærden for en individuel agent. En varefordeling siges at være egalitær optimal , hvis den opnår den størst mulige egalitære sociale velfærd, dvs. den maksimerer velfærden for den fattigste agent. Da der kan være flere forskellige fordelinger, der maksimerer den mindste velfærd, omtales egalitær optimalitet ofte som leksiminoptimal - fra den delmængde af fordelinger, der maksimerer den mindste velfærd, vælger denne fordeling de fordelinger, der maksimerer den næstmindste velfærd, derefter den tredje. mindste velfærd, og så videre.
Nash sociale velfærd er produktet af agenternes velfærd. En fordeling siges at være Nash optimal eller Nash Maximal Wealth , hvis den maksimerer produktet af velfærd. Nash optimale fordelinger har nogle nyttige retfærdighedsegenskaber [11] .

Fordelen ved globale optimeringskriterier frem for individuelle kriterier er, at velfærdsmaksimerende tildelinger er Pareto-effektive .

Fordelingsalgoritmer

Egenkapital Max-min-andel

Problemet med at beregne MFS for en agent er NP-komplet - dette kan vises ved at reducere problemet fra problemet med at opdele et sæt tal [8] .

MFS-allokeringer findes i de fleste tilfælde, men ikke altid. Der er meget sjældne tilfælde, hvor en sådan fordeling ikke eksisterer [12] .

Problemet med at bestemme, om der eksisterer en MFS-fordeling, er , det vil sige, at den kan løses i ikke-deterministisk polynomiel tid ved hjælp af en prædiktor for et NP-hårdt problem (en prædiktor er nødvendig for at beregne agentens max-min-andel). Den nøjagtige beregningsmæssige kompleksitet af dette problem er dog stadig ukendt [8] . $NP^{NP}$

Tildelinger, der garanterer hver deltager 2/3 af ovenstående værdi, eksisterer altid [12] . Distributionsproceduren blev implementeret i webtjenesten spliddit [13] .

Proportionalitet

1. Antag, at agenter har en numerisk hjælpefunktion på objekter. Så er problemet med om der er en proportional fordeling et NP-komplet problem - det kan opnås ved reduktion fra problemet med at opdele et sæt tal [8] .

2. Antag, at agenter har en ordinal rangering af objekter med tilstedeværelse eller fravær af identiske (efter præference) objekter. Så kan problemet, om der nødvendigvis er en proportional fordeling, løses i polynomisk tid - det kan opnås ved at reducere fra problemet med at kontrollere, om en todelt graf tillader en acceptabel b-matchning ( en matchning , hvor kanterne har kapaciteter) [14] .

For to agenter er der en enklere algoritme [15] .

3. Antag, at agenter har en ordinal rangering af objekter uden identiske (efter præference) elementer. Så kan problemet med, om der er en nødvendigvis proportional fordeling, løses i polynomisk tid. Det vides ikke, om dette er sandt, hvis agenter får lov til at udtrykke neutralitet (det vil sige at vise, at to genstande er af samme værdi for ham) [14] .

Fairness Min-max-share

Opgaven med at beregne mFS-agenten er coNP-komplet .

Problemet med, om der er en mFS-distribution, er , men dens nøjagtige beregningsmæssige kompleksitet forbliver ukendt [8] . $NP^{NP}$

Ingen misundelse (ingen penge)

Mangel på misundelse (med penge)

Misundelsesfrihed bliver lettere at opnå, hvis det antages, at agenternes værdiansættelser er kvasi-lineære i monetære termer og derfor tillader overførsel af kompensation mellem agenter.

Demange, Gale og Sotomayor viste en naturlig bottom-up-auktion, der giver en misundelsesfri tildeling ved hjælp af kontante betalinger til en budgiver for et objekt (hvor hver budgiver er interesseret i højst ét objekt) [16] .

Fair by Design er et generelt design til misundelsesfrie optimeringsproblemer, der naturligt udvider den retfærdige fordeling af objekter med pengeudbytte [17] .

Cavallo [18] generaliserede de traditionelle binære kriterier for manglende misundelse, proportionalitet og effektivitet (velvære) til gradmål, der ligger i området fra 0 til 1. Under betingelserne for en kanonisk retfærdig opdeling, for enhver effektiv distributionsmekanisme , graden af trivsel er 0 i værste fald, og graden af uforholdsmæssighed er 1. Med andre ord er de værst tænkelige resultater så dårlige som muligt. Dette motiverer stærkt analysen af den gennemsnitlige sag. Han ledte efter en mekanisme, der opnår høj velvære, lav jalousi og lav uforholdsmæssighed i forventninger på tværs af et spektrum af fair delingsindstillinger. Han viste, at Vickrey-Clark-Groves-mekanismen ikke er en tilfredsstillende kandidat, men Bailey [19] og Cavallo [20] omfordelingsmekanismen er.

Egalitær-optimal fordeling

Med numeriske estimater af en generel form er det et NP-hårdt problem at finde egalitære optimale fordelinger, eller endda tilnærmelsesvis optimale fordelinger. Dette kan bevises ved at reducere problemet med at opdele et sæt tal . Jo mere begrænsede estimaterne er, jo bedre tilnærmelser kan opnås [21] :

Med additive hjælpeprogrammer, for ethvert heltal , får fraktionen af midler en nytteværdi på mindst . Dette resultat opnås ved passende at lempe det lineære programmeringsproblem og afrunde det bedst mulige resultat for det lineære programmeringsproblem. $k$ $(1-1/k)$ $OPT/k$
Med to vareklasser er der en tilnærmelse . $O(\sqrt{n})$
Der er en tilnærmelse med submodulære hjælpefunktioner $(m-n+1)$

I artiklen af Nguyen, Ruus og Rote [22] og artiklen af N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus og Rote [23] præsenterer nogle stærkere resultater.

Et særligt tilfælde af egalitær social velfærdsoptimering med additiv nytte kaldes "Julemandsproblemet" [24] . Problemet forbliver NP-hårdt og kan ikke tilnærmes med en faktor > 1/2, men der er en tilnærmelse [25] og en mere kompliceret tilnærmelse [26] . Se også papiret af Dal'Aglio og Mosca [27] for en gren og bundet algoritme for to partnere. $På)$ $O({\sqrt {n}}\cdot \log ^{3}{n})$

Proceduren med faldende behov returnerer den egalitære optimale division i sædvanlig forstand - den maksimerer rangeringen, når agentens pakker med den laveste rang er lineært rangeret. Dette fungerer med et vilkårligt antal agenter og enhver rækkefølge af pakker.

Fordelinger, der er Nash-optimale

I artiklen af Nguyen, Ruus og Rote [22] og i artiklen af N.-T. Nguyen, TT Nguyen, Ruus og Rote [23] beviste vanskeligheden ved at beregne utilitaristiske og Nash-optimale distributioner.

Nguyen og Rote [28] præsenterede en tilnærmelsesprocedure for Nash optimale fordelinger.

Eksempelsekvens

Pluksekvensering er en simpel protokol, hvor agenter skiftes til at plukke genstande baseret på en forudbestemt rækkefølge. Målet er at designe en stikprøvesekvens for at maksimere den forventede værdi af den sociale velfærdsfunktion (f.eks. egalitær eller utilitaristisk) under nogle probabilistiske antagelser om agenternes estimater.

Forskellige delinger

Det meste af forskningen om emnetildeling antager, at alle agenter har lige store andele. Men i mange tilfælde er der agenter med forskellige andele. En sådan sag er opdelingen af ministerkabinettet efter partier. Det antages ofte, at hvert parti skal modtage et antal ministerier i forhold til antallet af mandater i folketinget. Se papiret af Brahms og Kaplan [29] , Aziz [30] og papiret af Segala-Helevy [31] for en diskussion af dette problem og nogle af dets løsninger.

Noter

↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , s. 285.
↑ Barbera, Bossert, Pattanaik, 2004 , s. 44–48.
↑ Bouveret, Endriss, Lang, 2010 .
↑ Brams, Edelman, Fishburn, 2003 , s. 147.
↑ Brams, 2005 , s. 387-421.
↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , s. 287-288.
↑ Bouveret, Chevaleyre, Maudet, 2016 , s. 289-294.
↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Bouveret, Lemaître, 2015 , s. 259.
↑ Budish, 2011 , s. 1061-1103.
↑ 1 2 Heinen, Nguyen, Rothe, 2015 , s. 521.
↑ 1 2 Caragiannis, Kurokawa og Moulin, 2016 , s. 305.
↑ 1 2 Procaccia, Wang, 2014 , s. 675-692.
↑ Divide Goods - Spliddit . Hentet 15. oktober 2019. Arkiveret fra originalen 19. oktober 2019. (ubestemt)
↑ 1 2 Aziz, Gaspers, MacKenzie, Walsh, 2015 , s. 71-92.
↑ Pruhs, Woeginger, 2012 , s. 305.
↑ Demange, Gale, Sotomayor, 1986 , s. 863-872.
↑ Mu'alem, 2014 , s. 29-46.
↑ Cavallo, 2012 .
↑ Bailey, 1997 , s. 107-126.
↑ Cavallo, 2006 , s. 882.
↑ Daniel Golovin. Max-min retfærdig fordeling af udelelige varer . CMU (2005). Hentet 27. august 2016. Arkiveret fra originalen 2. februar 2017. (ubestemt)
↑ 1 2 Nguyen, Roos, Rothe, 2013 , s. 65-90.
↑ 1 2 Nguyen, Nguyen, Roos, Rothe, 2013 .
↑ Bansal, Sviridenko, 2006 , s. 31.
↑ Bezaková, Dani, 2005 , s. elleve.
↑ Asadpour, Saberi, 2010 , s. 2970.
↑ Dall'Aglio, Mosca, 2007 , s. 218.
↑ Nguyen, Rothe, 2013 .
↑ Brams, Kaplan, 2004 , s. 143.
↑ Aziz, Haris; Gaspers, Serge; Mackenzie, Simon & Walsh, Toby (2017), Competitive Equilibrium with Indivisible Goods and Generic Budgets, arΧiv : 1703.08150 [cs.GT].
↑ Segal-Halevi, 2018 , s. 1267-1275.

Litteratur

Sylvain Bouveret, Yann Chevaleyre, Nicolas Maudet. Kapitel 12: Fair Allocation of Indivisible Goods // Handbook of Computational Social Choice / Felix Brandt, Vincent Conitzer, Ulle Endriss, Jérôme Lang, Ariel D. Procaccia. - Cambridge University Press, 2016. - ISBN 9781107060432 .
Barberà S., Bossert W., Pattanaik PK Rangordning af sæt af objekter. // Håndbog i nytteteori. - Springer USA, 2004.
Sylvain Bouveret, Ulle Endriss, Jérôme Lang. Fair Division Under Ordinal Preferences: Computing Envy-Free Allocations of Indivisible Goods // Proceedings of the 2010 conference on ECAI 2010: 19th European Conference on Artificial Intelligence . – 2010.
Steven J. Brams, Paul H. Edelman, Peter C. Fishburn. Fair opdeling af udelelige genstande // Teori og beslutning. - 2003. - T. 55 , no. 2 . - doi : 10.1023/B:THEO.0000024421.85722.0a .
Brams SJ Efficient Fair Division: Hjælp de værst stillede eller undgå misundelse? // Rationalitet og samfund. - 2005. - T. 17 , no. 4 . - doi : 10.1177/1043463105058317 .
Sylvain Bouveret, Michel Lemaître. Karakterisering af konflikter i retfærdig opdeling af udelelige varer ved hjælp af en skala af kriterier // Autonome agenter og multiagentsystemer. - 2015. - T. 30 , no. 2 . - doi : 10.1007/s10458-015-9287-3 .
Tobias Heinen, Nhan-Tam Nguyen, Jörg Rothe. Retfærdighed og rangvægtet utilitarisme i ressourceallokering // Algoritmisk beslutningsteori. - 2015. - T. 9346. - (Lecture Notes in Computer Science). — ISBN 978-3-319-23113-6 . - doi : 10.1007/978-3-319-23114-3_31 .
Trung Thanh Nguyen, Jörg Rothe. Misundelse-forhold og gennemsnit-vores sociale velfærdsoptimering i multiagent ressourceallokering. — AAMAS 13, 2013.
Ioannis Caragiannis, David Kurokawa, Herve Moulin, Ariel D. Procaccia, Nisarg Shah, Junxing Wang. The Unreasonable Fairness of Maximum Nash Welfare // Proceedings of the 2016 ACM Conference on Economics and Computation - EC '16 . - 2016. - ISBN 9781450339360 . - doi : 10.1145/2940716.2940726 .
Haris Aziz, Serge Gaspers, Simon MacKenzie, Toby Walsh. Fair tildeling af udelelige objekter under ordinære præferencer // Kunstig intelligens. - 2015. - T. 227 . - doi : 10.1016/j.artint.2015.06.002 . - arXiv : 1312.6546 .
Kirk Pruhs, Gerhard J. Woeginger. Skilsmisse gjort let // Sjov med algoritmer. - 2012. - T. 7288. - (Lecture Notes in Computer Science). - ISBN 978-3-642-30346-3 . - doi : 10.1007/978-3-642-30347-0_30 .
Ruggiero Cavallo. Retfærdighed og velfærd gennem omfordeling, når nytte kan overføres . — AAAI-12, 2012.
Martin J. Bailey. Den efterspørgselsafslørende proces: At fordele overskuddet // Public Choice. - 1997. - T. 91 , no. 2 . - doi : 10.1023/A:1017949922773 .
Ruggiero Cavallo. Optimal beslutningstagning med minimalt spild // Proceedings of the femte internationale fælleskonference om autonome agenter og multiagent-systemer - AAMAS '06. - 2006. - ISBN 1595933034 . - doi : 10.1145/1160633.1160790 .
Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. En undersøgelse af tilnærmelses- og utilnærmelighedsresultater for social velfærdsoptimering i multiagent ressourceallokering // Annals of Mathematics and Artificial Intelligence. - 2013. - T. 68 , no. 1-3 . - doi : 10.1007/s10472-012-9328-4 .
Nhan-Tam Nguyen, Trung Thanh Nguyen, Magnus Roos, Jörg Rothe. Beregningsmæssig kompleksitet og tilnærmelse af social velfærdsoptimering i multiagent ressourceallokering // Autonome agenter og multiagentsystemer. - 2013. - T. 28 , no. 2 . - doi : 10.1007/s10458-013-9224-2 .
Nikhil Bansal, Maxim Sviridenko. Julemanden-problemet // Proceedings of the 38. årlige ACM symposium on Theory of computing - STOC '06. - 2006. - ISBN 1595931341 . - doi : 10.1145/1132516.1132522 .
Ivona Bezakova, Varsha Dani. Tildeling af udelelige varer // ACM SIGecom Exchanges. - 2005. - V. 5 , no. 3 . - doi : 10.1145/1120680.1120683 .
Arash Asadpour, Amin Saberi. An Approximation Algorithm for Max-Min Fair Allocation of Indivisible Goods // SIAM Journal on Computing. - 2010. - T. 39 , no. 7 . - doi : 10.1137/080723491 .
Marco Dall'Aglio, Raffaele Mosca. Sådan fordeler du hårde slik retfærdigt // Matematisk samfundsvidenskab. - 2007. - T. 54 , no. 3 . - doi : 10.1016/j.mathsocsci.2007.04.008 .
Steven J. Brams, Todd R. Kaplan. Dividing the Indivisible // Journal of Theoretical Politics. - 2004. - T. 16 , no. 2 . - doi : 10.1177/0951629804041118 .
Erel Segal-Halevi. Konkurrenceligevægt for næsten alle indkomster // Proceedings of AAMAS 2018. - International Foundation for Autonomous Agents and Multiagent Systems, 2018.
Gabrielle Demange, David Gale, Marilda Sotomayor. Auktioner med flere varer // Journal of Political Economy. - 1986. - T. 94 , no. 4 . - doi : 10.1086/261411 . — .
Ahuva Mu'alem. Fair by design: Multidimensionale misundelsesfrie mekanismer // Spil og økonomisk adfærd. - 2014. - T. 88 . - doi : 10.1016/j.geb.2014.08.001 .
Budish E. The Combinatorial Assignment Problem: Approximate Competitive Equilibrium from Equal Incomes // Journal of Political Economy. - 2011. - T. 119 , no. 6 . - doi : 10.1086/664613 .
Ariel D. Procaccia, Junxing Wang. Fair nok: garanterer omtrentlige maksimalandele. — EC '14 Proceedings fra den femtende ACM-konference om økonomi og beregning. - 2014. - ISBN 9781450325653 . - doi : 10.1145/2600057.2602835 .