Sekundær differentialregning er en gren af moderne matematik , der udvider den klassiske differentialregning på manifolds til rummet af løsninger af ikke-lineære partielle differentialligninger. Æren for opdagelsen af den sekundære differentialregning tilhører professor Alexander Mikhailovich Vinogradov .
I matematik er der en sammenhæng mellem algebra og geometri, det vil sige, at man for enhver algebraisk ligning kan finde en geometrisk analog. Den geometriske pendant til ikke-lineære differentialligninger er meget komplekse, nogle gange uendelig-dimensionelle, geometriske objekter med mange strukturer ( karakteristiske kegler , L-stråler osv.); til deres detaljerede undersøgelse blev dette matematiske apparat skabt.
Denne teori opererer med sekundære analoger af klassisk analyse (sekundære vektorfelter, sekundære moduler over en sekundær glat algebra af funktioner osv.). I denne teori introduceres diffeotoper - geometriske objekter, der spiller samme rolle i den som algebraiske varianter i teorien om algebraiske ligninger. De er manifolder af en særlig art, som regel uendelig-dimensionelle, udstyret med en kontaktstruktur af uendelig rækkefølge. Den sekundære differentialregning er en differentialregning på diffeotoper, der tager højde for denne kontaktstruktur. Diffeotopers uendelige dimensionalitet gør det umuligt at konstruere en differentialregning ved standardmetoder. Derfor er anvendelsen af den algebraiske tilgang uundgåelig her.
En bemærkelsesværdig og uventet kendsgerning, der dukkede op i processen med at konstruere den sekundære differentialregning, er, at dens objekter er kohomologiklasserne af visse differentialkomplekser, der naturligt opstår på diffeotoper.
Baseret på denne teori blev der skabt en syntetisk matematisk teori, kaldet diffeotopi (ikke at forveksle med omsluttende isotopi ). Det er en syntese af to teorier - den primære differentialregning, det vil sige teorien om funktionsfaktorer for differentialregningen over kommutative algebraer, og den sekundære differentialregning. Dette er en ny dynamisk udviklende gren af matematikken, som er en ejendommelig og naturlig syntese af mange moderne matematiske discipliner, såsom den geometriske teori om ikke-lineære partielle differentialligninger, kommutativ og homologisk algebra, algebraisk topologi, algebraisk og differentialgeometri, differentialregning i kommutative algebraer og andre. . Faktiske problemer med diffeotopi kan opdeles i to store klasser. Den første omfatter problemer relateret til identifikation og undersøgelse af de grundlæggende strukturer for primære og sekundære beregninger. Den anden klasse omfatter talrige tekniske og beregningsmæssige problemer forbundet med løsning af specifikke problemer ved hjælp af diffeotopiske metoder. For eksempel giver problemet med at finde alle bevarelseslove eller Bäcklund-transformationer for et givet system af differentialligninger, som er algoritmisk med hensyn til sekundærregning, et eksempel på det simpleste problem i denne klasse. Faktiske beregninger ved hjælp af metoderne til sekundær differentialregning viser sig ofte at være så komplekse og tidskrævende, at deres implementering bliver umulig uden ordentlig computerstøtte. Derfor er udviklingen af passende specialiseret software til symbolske "sekundære" beregninger en yderst vigtig opgave.
Denne teori finder allerede anvendelse i moderne fysik, nemlig: den del af moderne kvantefeltteori, der er forbundet med BRST-kvantisering og anti-feltformalisme, er naturligt og begrebsmæssigt transparent beskrevet i sproget for sekundær differentialregning (den del af fysikken, der er forbundet med dette er kaldet kohomologisk fysik ).