Hovedværdien af Cauchy-integralet

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 30. maj 2021; checks kræver 2 redigeringer .

Hovedværdien af Cauchy -integralet er en generalisering af begrebet Riemann-integralet , som giver dig mulighed for at beregne nogle divergerende ukorrekte integraler . Ideen med hovedværdien af Cauchy-integralet er, at når integrationsintervallerne nærmer sig entalspunktet fra begge sider "med samme hastighed", udjævner singulariteterne hinanden (på grund af forskellige tegn til venstre og højre), og som et resultat, kan du få en endelig grænse, som kaldes hovedværdien af Cauchy-integralet. Dette koncept har vigtige anvendelser i kompleks analyse ( Sochocki-Plemelja-sætningen ) [1] .

Så for eksempel er et integral et upassende integral af den anden slags , eksisterer ikke, men det eksisterer i betydningen af Cauchy-integralets hovedværdi. $\int _{-1}^{1}{\frac {dx}{x}}$

Definition af hovedværdien af Cauchy-integralet

Definition (for ental punkt "∞")

Definition (for ental punkt "∞"). Lad f (x) være defineret på intervallet (-∞, + ∞) og f ∈ R ([- A, A]) for alle A > 0, men det ukorrekte integral af den første slags divergerer. Hvis der er en begrænset grænse $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$

\lim _{A\rightarrow +\infty }\int _{-A}^{A}f(x)\,dx,

så kaldes denne grænse for hovedværdien af Cauchy-integralet (eller hovedværdien i betydningen Cauchy) for funktionen f i domænet (-∞, + ∞) og er angivet med symbolet

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx.

I dette tilfælde siges funktionen f (x) at være integrerbar på intervallet (-∞, + ∞) i betydningen Cauchy (eller integrerbar i domænet (-∞, + ∞) i betydningen Cauchy).

Eksempel. Overvej det ukorrekte integral. Dette integral divergerer, fordi integralet for eksempel vil være divergent, men der er en principiel værdi af dette integral i betydningen Cauchy: $\int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx.$ $\int _{0}^{+\infty }x\,dx,$

\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }x\,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty}\int _{-A}^{A}x \,dx=\lim _{A\rightarrow +\infty }{\frac {x^{2}}{2}}{\Bigr |}_{-A}^{A}=0.

Sætning

Hvis f (x) er ulige på (-∞, + ∞) og f ∈ R ([- A, A]) for alle A > 0, så er f Cauchy integrerbar på (-∞, + ∞).
Hvis f (x) er lige på (-∞, + ∞) og f ∈ R ([- A, A]) for alle A > 0, så er konvergensen af integralet ækvivalent med konvergensen af integralet $\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)\,dx$ $\int _{0}^{+\infty }f(x)\,dx.$

Definition (for et endeligt entalspunkt)

Definition (for et endeligt entalspunkt). Lad funktionen f : [a, b] → R opfylde betingelserne:

der eksisterer δ > 0, således at f ∈ R ([a, c - ε]) og f ∈ R ([c + ε, b]) for alle ε ∈ (0, δ)
divergent er et upassende integral af den anden slags $\int _{a}^{b}f(x)\,dx.$

Hvis der er en begrænset grænse

\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\int _{a}^{c-\varepsilon }f(x)\,dx+\int _{c+\varepsilon }^{b}f (x)\,dx\right),

så kaldes denne grænse for hovedværdien af Cauchy-integralet (eller hovedværdien i betydningen Cauchy) for funktionen f på intervallet [a, b] og er angivet med symbolet

\mathrm {vp} \int _{a}^{b}f(x)\,dx.

Desuden siges funktionen f (x) at være Cauchy -integrerbar på [a , b ] (eller integrerbar på segmentet [a, b] i betydningen Cauchy).

Eksempel. Betragt et uegentligt integral af den anden art (se figur) Det divergerer, da integralet for eksempel divergerer. I dette tilfælde, i forståelsen af hovedværdien ifølge Cauchy, eksisterer dette integral og er lig med nul: $\int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}$ $\int _{-2}^{0}{\frac {dx}{x)).$

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-2}^{2}{\frac {dx}{x}}&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left (\int _{-2}^{-\varepsilon }{\frac {dx}{x}}+\int _{\varepsilon }^{2}{\frac {dx}{x}}\right)= \\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}\left(\ln |x|{\Bigr |}_{-2}^{-\varepsilon }+\ln |x|{\Bigr |} _{\varepsilon }^{2}\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \rightarrow +0}{\big (}\ln |-\varepsilon |-\ln |\varepsilon |{\big )}=\\&=0.\end{aligned}}

Tilfældet med flere entalspunkter på integrationsintervallet

Eksempel. Overvej et forkert integral (se figur). Entalspunkterne for integranden f (x) = 2 x / (x²-1) er punkterne -1, 1 og ∞. Dette integral divergerer, derfor divergerer det for eksempel integralet $\int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx$

{\begin{aligned}\int _{2}^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{A\to +\ infty }\int _{2}^{A}{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx=\\&=\lim _{A\to +\infty }\ln | x^{2}-1|{\Bigr |}_{x=2}^{A}=\\&=\lim _{A\to +\infty }{\big (}\ln |A^{ 2}-1|-\ln 3{\big )}=\\&=+\infty .\end{aligned))

Det er klart, at f ∈ R ([1 / ε, −1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1-ε]) ∩ R ([1 + ε, 1 / ε]) for alle ε ∈ (0 , 1) (fordi det er afgrænset på hvert af disse intervaller). Lad os kontrollere integrerbarheden af funktionen f i betydningen Cauchy:

{\begin{aligned}\mathrm {vp} \int _{-\infty }^{+\infty }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx&=\lim _{\varepsilon \to 0+}\left(\int _{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\ int _{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx+\int _{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\frac {2x}{x^{2}-1}}\,dx\right)=\\&=\lim _{\varepsilon \to +0}{\Big (}\ln |x^{ 2}-1|{\Bigr |}_{-1/\varepsilon }^{-1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{-1+\varepsilon }^{1-\varepsilon }+\ln |x^{2}-1|{\Bigr |}_{1+\varepsilon }^{1/\varepsilon }{\Big )}=\\&=0 .\end{aligned}}

Derfor er funktionen f Cauchy-integrerbar på intervallet (-∞, + ∞).

Noter

↑ Pavlov V.P. Hovedværdien af integralet // Physical Encyclopedia : [i 5 bind] / Kap. udg. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Lange linjer. — 707 s. — 100.000 eksemplarer.

Kilder

Dorogovtsev A. Ya. Matematisk analyse . - Kiev, Higher School, 1985.

Hovedværdien af ​​Cauchy-integralet