Jacobi integral

I den himmelske mekanik er Jacobi-integralet den eneste kendte bevarede mængde i det begrænsede cirkulære tre-legeme-problem. [1] I modsætning til tolegemeproblemet lagres systemets energi og moment ikke separat, og den generelle analytiske løsning kan ikke opnås. Jacobi-integralet bruges til at opnå en numerisk løsning i enkelte tilfælde.

Definition

Synodisk system

Et praktisk koordinatsystem er det såkaldte synodiske system med origo i barycentret , hvor linjen, der forbinder masserne μ 1 og μ 2 , er valgt som x -aksen , og afstanden mellem dem er valgt som afstandsenhed. Da systemet roterer sammen med legemerne, forbliver de ubevægelige og placeret på punkter med koordinater (− μ 2 , 0) og (+ μ 1 , 0) 1 .

I koordinatsystemet ( x , y ) er Jacobi-konstanten

C_{J}=n^{2}(x^{2}+y^{2})+2\left({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+ {\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\right)-\left({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{ \dot {z}}^{2}\right),

hvor:

$n={\frac {2\pi }{T))$ er den gennemsnitlige bevægelse ( omløbsperiode T),
$\mu _{1}=Gm_{1}\,\!,\mu _{2}=Gm_{2}\,\!$ , for to masser m 1 , m 2 og gravitationskonstant G ,
$r_{1}\,\!,r_{2}\,\!$ er afstandene fra testpartiklen til to massive legemer.

Bemærk, at Jacobi-integralet er lig med minus to gange den samlede energi pr. masseenhed i en roterende referenceramme: det første led refererer til den centrifugale potentielle energi, det andet refererer til gravitationspotentialet, og det tredje er den kinetiske energi. I denne referenceramme omfatter de kræfter, der virker på en partikel, to tyngdekræfter fra legemer, centrifugalkraften og Corioliskraften . Da de første tre kræfter kan udtrykkes i form af potentialer, og den sidste er vinkelret på banen, er de alle konservative, så energien målt i et givet energisystem (deraf Jacobi-integralet) bevares.

Sidereal system

I en inerti (siderisk) referenceramme ( ξ , η , ζ ) kredser masser omkring barycentret. I dette koordinatsystem har Jacobi-konstanten formen

C_{J}=2\venstre({\frac {\mu _{1}}{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}\ højre)+2n\venstre(\xi {\dot {\eta }}-\eta {\dot {\xi}}\right)-\venstre({\dot {\xi}}^{2}+{\ prik {\eta }}^{2}+{\dot {\zeta }}^{2}\right).

Konklusion

I det synodiske system kan accelerationer repræsenteres som afledte af en skalarfunktion

U(x,y,z)={\frac {n^{2}}{2}}(x^{2}+y^{2})+{\frac {\mu _{1} }{r_{1}}}+{\frac {\mu _{2}}{r_{2}}}.

Overvej Lagrange-ligningerne for et legemes bevægelse:

{\ddot {x}}-2n{\dot {y}}={\frac {\delta U}{\delta x)),

{\ddot {y}}+2n{\dot {x}}={\frac {\delta U}{\delta y)),

{\ddot {z}}={\frac {\delta U}{\delta z)),

Efter at have ganget ligningerne med henholdsvis og og tilføjet alle tre udtryk, får vi ligheden ${\dot {x}},{\dot {y}}$ ${\dot {z))$

{\dot {x}}{\ddot {x}}+{\dot {y}}{\ddot {y}}+{\dot {z}}{\ddot {z}}={\ frac {\delta U}{\delta x}}{\dot {x}}+{\frac {\delta U}{\delta y}}{\dot {y}}+{\frac {\delta U} {\delta z}}{\dot {z}}={\frac {dU}{dt}}.

Efter integration får vi udtrykket

{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2}=2U-C_{J},

hvor C J er integrationskonstanten.

Den venstre side af ligningen er kvadratet af hastigheden v af testpartiklen i den synodiske referenceramme.

1 Dette koordinatsystem er ikke-inertielt, hvilket forklarer udseendet af termer forbundet med centrifugalkraften og Corioliskraften.

Noter

↑ Bibliothèque nationale de France Arkiveret 2. februar 2017 på Wayback Machine . Jacobi, Carl GJ Sur le movement d'un point et sur un cas particulier du problème des trois corps (fransk) // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris :magasin. - 1836. - Bd. 3 . - S. 59-61 .

Litteratur

Carl D. Murray og Stanley F. Dermot Solar System Dynamics [Cambridge, England: Cambridge University Press, 1999], side 68-71. ( ISBN 0-521-57597-4 )