Præcis løseligt problem

I øjeblikket er der ingen enkelt definition af et nøjagtigt løseligt problem for alle grene af matematikken. Dette skyldes de særlige forhold ved selve problemerne og metoderne til at søge efter deres løsning. Samtidig er de grundlæggende teoremer, der bestemmer løsningernes eksistens og unikke karakter, baseret på generelle principper, som vil blive vist nedenfor.

Algebraiske ligninger

At løse en ligning med en ukendt betyder at finde værdierne ( rødderne af ligningen), nullerne af den funktion , der opfylder denne ligning [1] .

Værdierne af det ukendte , der opfylder ligningen, det vil sige, når de erstattes i stedet, forvandler ligningen til en identitet, kaldes ligningens rødder såvel som det tilsvarende polynomium. [2] .

I overensstemmelse hermed, ved at løse nogle sæt (system) af ligninger

med ukendte kaldes værdisættet af de ukendte , der samtidig opfylder hver ligning i systemet. Ligningssystemet er fuldstændig løst, hvis alle sådanne løsninger findes. [3] .

Løsningen er omtrentlig, hvis forskellen mellem værdien af ​​højre og venstre side af ligningen vil være under den tilladte fejl i løsningen, når man substituerer i en algebraisk ligning (ligningssystem).

Differentialligninger (integro-differentialligninger)

I differential- og integro-differentialligninger har hver ligning et uendeligt antal numeriske løsninger, og derfor handler spørgsmålet om muligheden for at beskrive mængden af ​​alle numeriske løsninger af en given differentialligning [4] .

Løsningen ( integration ) af en differentialligning består i at finde funktioner ( løsninger , integraler ) i et bestemt endeligt eller uendeligt interval . Bemærk at løsningerne kan kontrolleres ved substitution i ligningen [5] .

Integration af et system af differentialligninger kan ofte reduceres til integration af én almindelig differentialligning af orden n , ved successivt at eliminere ( n  -1) variabler og deres afledte eller erstatte højere afledede med ukendte hjælpefunktioner [6] .

Løsningen er tilnærmet, hvis, over hele integrationsintervallet, når løsningen substitueres i en differentialligning (ligningssystem), vil forskellen mellem værdien af ​​højre og venstre del af ligningen være under den tilladte fejl i løsningen .

Matematisk statistik

Kriterieskemaer med en fast stikprøve og sekventielle kriterier er særlige tilfælde af beslutningsfunktioner eller adfærdsregler forbundet med vedtagelsen af ​​en hypotese (beslutning) for hver prøve af nogle observerede træk [7] .

Kriterier for begrundelse af beslutninger

Søgen efter løsninger af både algebraiske og differentialligninger er baseret på sætninger om eksistensen af ​​løsninger og deres unikke karakter.

Eksistenssætninger

For at formuleringen af ​​et begyndelses- eller grænseværdiproblem skal være korrekt, kræves der et bevis for eksistensen af ​​en løsning, som nogle gange angiver måden dens konstruktion på. Eksistensen af ​​et fysisk fænomen beskrevet af en given differentialligning kan kun antyde, men ikke bevise, eksistensen af ​​en løsning; eksistensbeviset kontrollerer den matematiske models uafhængighed [8] .

For algebraiske ligninger er eksistenssætninger baseret på en række sætninger. Især om Abel-Ruffini-sætningen om umuligheden af ​​at opnå løsninger i radikaler for enhver potensligning over den femte; om sætningen om korrespondancen af ​​antallet af rødder af graden af ​​en algebraisk ligning; på Routh-Hurwitz stabilitetskriterierne , Sturm-sætningen , som bestemmer om løsninger har en negativ reel del osv.

For et ligningssystem bruges Cramers regel ; betingelsen for den ikke-trivielle løsning af homogene lineære ligninger med nul højre side, som består i forsvinden af ​​systemets hoveddeterminant; betingelsen for lineær uafhængighed af ligninger, som består i ligheden mellem antallet af ukendte og antallet af systemets ligninger; betingelser for tilstedeværelsen af ​​en løsning som følge af ligheden mellem matrixens rækker og systemets udvidede matrix osv. [9] .

For differentialligninger er eksistenssætninger bygget på Cauchy-metoden , som består i at finde en løsning i form af en serie og bevise konvergensen af ​​denne serie for differentialligninger under ret brede antagelser om højre side; på Picard-tilnærmelsesmetoden [10] , den komprimerede billedmetode [11] osv.

Unikitetsteoremer for løsninger

Denne klasse af sætninger bestemmer unikheden og fuldstændigheden af ​​løsninger af både algebraiske og integro-differentialligninger. Især for differentialligninger er den geometriske fortolkning af sætningerne som følger: en enkelt integralkurve passerer gennem hvert punkt i domænet D. For et system af algebraiske ligninger siger entydighedssætningen, at et system med n ligninger ikke kan have mere end n løsninger. I analytisk geometri bestemmer unikhedssætningen entydigheden af ​​en vektors ekspansion med hensyn til grundlaget, såvel som uafhængigheden af ​​basisens vektorer (grundlagets fuldstændighed) [12] . I funktionsteorien beviser unikhedssætningen det unikke ved repræsentationen af ​​hvert sæt punkter i et bestemt område ved hjælp af en specifik analytisk funktion [13] . Med hensyn til det unikke ved repræsentation ved analytiske funktioner, bør det tages i betragtning, at i det generelle tilfælde kan det samme sæt af punkter beskrives både ved en bestemt funktion og ved en generaliserende funktion, der antager en forskellig form i hver af funktionens domæner. Dette genererer bifurkationer (forgrening) af funktionen og følgelig løsninger af modelleringssystemet af ligninger [14] .

Denne klasse af sætninger er som regel bevist "ved modsigelse", det vil sige, det antages, at der under sætningens givne betingelser er flere løsninger, basisvektorerne kan udtrykkes gennem hinanden osv. og ved at overveje denne antagelse, de fører til den konklusion, at konklusionen er forkerte antagelser, hvilket beviser hovedpåstanden i sætningen om løsningens unikke karakter [15] .

Beslutningsskemaer

Løsninger til ligninger kan opnås i en af ​​to former:

Den analytiske form er altid at foretrække, fordi den gør det muligt at bruge løsningen til direkte analyse af påvirkningen af ​​dens parametre. I numeriske termer er dette svært. Numeriske og tilnærmede løsningsmetoder bruges på grund af det faktum, at rækken af ​​nøjagtige løsninger er betydeligt begrænset [16] . Kombinerede løsninger giver det bedste resultat, når den numeriske metode er baseret på en eller anden analytisk løsning af et nært problem, som med numeriske metoder udvides til det problemområde, hvor der ikke er analytiske løsninger. Den største fare, der eksisterer i denne kombinerede metode, er, at den ikke tager højde for de særlige forhold ved overgangen fra et nøjagtigt løseligt til et numerisk løseligt problem. Især de eksisterende omtrentlige løsninger for dynamiske systemer med klumpede parametre, gennem de kendte analytiske løsninger til systemer med distribuerede parametre, indeholder en systematisk fejl i svingningsfasen, som opstår på grund af, at når man passerer til grænsen fra systemer med klumpede parametre til systemer med distribuerede parametre, transformeres faserelationerne på en sådan måde, at de ikke kan genvindes under den omvendte overgang [17] .

Noter

  1. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 41
  2. ↑ Vinogradov I. M. Algebraisk ligning. Matematisk encyklopædi. M., Soviet Encyclopedia, bind 1, s. 192
  3. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 49
  4. ↑ Pontryagin L. S. Almindelige differentialligninger. M., Nauka, 1970, s. 9
  5. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 252
  6. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 253
  7. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 565
  8. ↑ Korn G., Korn T., Håndbog i matematik for forskere og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. 253
  9. ↑ Korn G., Korn T. Håndbog i matematik for videnskabsmænd og ingeniører. M., Nauka, 1968, s. halvtreds
  10. ↑ Freiman L. S. Eksistenssætninger. M., Nauka, 1968.
  11. ↑ Pontryagin L. S. Almindelige differentialligninger. M., Nauka, 1970, s. 153
  12. ↑ Gursky E. I., Ershova V. V. Grundlæggende om lineær algebra og analytisk geometri. Minsk, Higher School, 1968, s. 113
  13. ↑ Shilov G. E. Matematisk analyse. Funktioner af en variabel, del 1-2, M., Nauka, 1969, s. 426
  14. ↑ Løsninger til uendelige elastiske klumpede linjer
  15. ↑ Pontryagin L. S. Almindelige differentialligninger. M., Nauka, 1970, s. 159
  16. ↑ Elsgolts L. E. Differentialligninger og variationsregningen. M., Nauka, 1969, s. 39.
  17. ↑ Nogle træk ved simulering af tvangssvingninger84