Atom (målteori)
I målteori er et atom et målbart sæt af positive mål, der ikke indeholder en delmængde af et mindre positivt mål. Et mål, der ikke har atomer, kaldes atomløs .
Definition
Hvis der er et målbart rum og et mål på dette rum, kaldes sættet af et atom , hvis
og for enhver målbar delmængde af sættet fra
følger det
Eksempler
- Betragt en mængde X = {1, 2, ..., 9, 10}, og lad sigma-algebraen være mængden af alle delmængder af X . Lad os definere målet for et sæt som dets kardinalitet , dvs. antallet af elementer i det. Så er hver et-punkts delmængde { i } for i = 1, 2, ..., 9, 10 et atom.
- Lebesgue-målet på den rigtige linje er atomløst.
Atomløse foranstaltninger
Et mål, der ikke indeholder atomer, kaldes atomløs . Med andre ord er et mål atomløst, hvis der for ethvert målbart sæt c eksisterer en målbar delmængde B af mængden A , således at
Et atomløst mål med mindst én positiv værdi har et uendeligt antal forskellige værdier, fordi ud fra et sæt A med et mål , kan man konstruere en uendelig række af målbare mængder
sådan at
Dette er muligvis ikke sandt for mål med atomer (se eksemplet ovenfor).
Faktisk viser det sig, at ikke-atomare mål har et kontinuum af værdier. Det kan bevises, at hvis μ er et atomløst mål, og A er et målbart sæt med så for ethvert reelt tal b , der opfylder betingelsen
der er en målbar delmængde B af mængden A , således at
Denne teorem blev bevist af Vaclav Sierpinski . [1] [2] Det ligner mellemværdisætningen for kontinuerte funktioner.
Skitse af beviset for Sierpinskis teorem for ikke-atomare mål. Lad os bruge en lidt stærkere påstand: hvis der er et atomløst målbart rum og , så eksisterer der en funktion, der definerer en én-parameter familie af målbare mængder S(t), således at for alle
![{\displaystyle S:[0,c]\to \Sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6b4a336ebd0f9d7be72dec0166191097ea77241)
Beviset følger let af Zorns lemma anvendt på sættet
![{\displaystyle \Gamma :=\{S:D\til \Sigma \;:\;D\delsæt [0,\,c],\,S\;\mathrm {monotone} ,\forall t\in D\ ;(\mu \venstre(S(t)\højre)=t)\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/68ad85f64526e4be1366845bbc6b1cdf2741157e)
ordnet ved at inkludere grafer. Yderligere er det vist på en standard måde, at enhver kæde i har et maksimumelement, og ethvert maksimumelement har et definitionsdomæne , hvilket beviser påstanden.
![{\displaystyle [0,c]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f04abeab39818aa786f2e5f9cdf163379e60c6)
Se også
- Dirac delta funktion
- Elementære begivenheder , også kendt som atomhændelser
Links
- ↑ W. Sierpinski. Sur les fonctions d'ensemble additives et fortsætter Arkiveret 15. maj 2011 på Wayback Machine . Fundamenta Mathematicae, 3:240-246, 1922.
- ↑ Fryszkowski, Andrzej. Fixed Point Theory for Decomposable Sets (Topologisk Fixed Point Theory and Its Applications ) . — Springer. - S. 39. - ISBN 1-4020-2498-3 .
- Bruckner, Andrew M.; Bruckner, Judith B.; Thomson, Brian S. Reel analyse . - Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall , 1997. - S. 108. - ISBN 0-13-458886-X .
- Butnariu, Dan; Klement, EP Trekantede normbaserede foranstaltninger og spil med fuzzy koalitioner . - Dordrecht: Kluwer Academic , 1993. - S. 87 . - ISBN 0-7923-2369-6 .