Kvante harmonisk oscillator

En kvanteharmonisk oscillator er en fysisk model inden for kvantemekanik , som er en parabolsk potentialbrønd for en partikel med masse og er en analog af en simpel harmonisk oscillator . Når vi analyserer dette systems adfærd, tager vi ikke hensyn til de kræfter, der virker på partiklen, men Hamiltonian , det vil sige oscillatorens samlede energi, og den potentielle energi antages at være kvadratisk afhængig af koordinaterne. At tage de følgende udtryk i betragtning i udvidelsen af den potentielle energi langs koordinaten fører til konceptet om en anharmonisk oscillator . $m$

Det harmoniske oscillatorproblem i koordinatrepræsentation

Hamiltonianeren for en kvanteoscillator med massen m, hvis naturlige frekvens er ω, ser sådan ud:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

I koordineret repræsentation , . Problemet med at finde energiniveauerne for en harmonisk oscillator er reduceret til at finde sådanne tal E , for hvilke den partielle differentialligning ${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$ ${\hat q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

har en løsning i klassen af kvadratiske integrerbare funktioner .

Til $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

løsningen ser sådan ud:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ venstre({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\right),

funktioner er hermitiske polynomier : $H_n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Dette interval af E -værdier fortjener opmærksomhed af to grunde: for det første er energiniveauerne diskrete og lige fordelt (liges afstand) , det vil sige, at forskellen i energi mellem to tilstødende niveauer er konstant og lig med ; for det andet er den mindste energiværdi . Dette niveau kaldes hoved- , vakuum- eller niveauet af nul-oscillationer . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Oprettelse og ødelæggelse operatører

Det er meget nemmere at opnå spektret af en harmonisk oscillator ved at bruge oprettelses- og udslettelsesoperatorerne konjugeret til hinanden .

Fødselsoperatoren er , udslettelsesoperatoren er , deres kommutator er lig med ${\hat {a}}^{+}$ ${\hat {a}}$

[{\hat {a)),{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p)))=1

Ved at bruge oprettelses- og udslettelsesoperatorerne kan Hamiltonianeren for en kvanteoscillator skrives i en kompakt form:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)

hvor er operatøren af niveaunummeret (udfyldningsnumre). Egenvektorerne for en sådan Hamiltonian er Fock-tilstande , og repræsentationen af løsningen af problemet i denne form kaldes "repræsentationen af antallet af partikler". ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

Anharmonisk oscillator

En anharmonisk oscillator forstås som en oscillator med en ikke-kvadratisk afhængighed af den potentielle energi på koordinaten. Den enkleste tilnærmelse af en anharmonisk oscillator er den potentielle energitilnærmelse op til det tredje led i Taylor-serien :

{\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{ 2}+\lambda {\hat {q}}^{3}

Den nøjagtige løsning af problemet med energispektret for en sådan oscillator er ret besværlig, men det er muligt at beregne korrektionerne til energien, hvis vi antager, at den kubiske term er lille sammenlignet med den kvadratiske, og bruger forstyrrelsen teori .

I repræsentationen af skabelses- og tilintetgørelsesoperatorerne (anden kvantiseringsrepræsentation) er kubikkleddet lig med

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega }\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3 }.

Denne operator har nul diagonale elementer, og derfor mangler den første korrektion af forstyrrelsesteorien. Den anden korrektion til energien af en vilkårlig ikke -vakuum tilstand er $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Multipartikel kvanteoscillator

I det enkleste tilfælde af vekselvirkningen mellem flere partikler kan modellen af en mange-partikel kvanteoscillator anvendes, hvilket indebærer vekselvirkningen mellem nabopartikler i henhold til en kvadratisk lov:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2} m\omega ^{2}\sum _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Her mener vi med og afvigelsen fra ligevægtspositionen og momentum af den -te partikel. Summeringen udføres kun over nabopartikler. ${\hat {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $jeg$

En sådan model fører til en teoretisk underbygning af fononer - Bose - kvasipartikler observeret i et fast stof.

Overgange under påvirkning af en ekstern kraft

Under påvirkning af en ekstern kraft kan en kvanteoscillator bevæge sig fra et energiniveau ( ) til et andet ( ). Sandsynligheden for denne overgang for en oscillator uden dæmpning er givet af formlen: $f(t)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ venstre(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\right)^{2}\right)

hvor funktionen er defineret som: $\delta (t)$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

og er Laguerre polynomier . $L_{m}^{{mn}}$

Se også

Litteratur

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantemekanik (non-relativistisk teori). — 3. Oplag, revideret og forstørret. — M .: Nauka , 1974 . — 752 s. - ("Teoretisk fysik", bind III).

Modeller af kvantemekanik
Endimensionel uden spin	fri partikel Grube med endeløse vægge Rektangulær kvantebrønd delta potentiale Trekantet kvantebrønd Harmonisk oscillator Potentiel trædesten Pöschl-Teller potentiale godt Modificeret Pöschl-Teller potentialebrønd Partikel i et periodisk potentiale Dirac potentiel kam Partikel i ringen
Multidimensionel uden spin	cirkulær oscillator Hydrogen molekyle ion Symmetrisk top Sfærisk symmetriske potentialer Woods-saksisk potentiale Keplers problem Yukawa-potentiale Morse potentiale Hulthen potentiale Kratzers molekylære potentiale Eksponentielt potentiale
Inklusiv spin	hydrogenatom Hydrid ion helium atom