Tarskis aksiomatik (geometri)

Den aktuelle version af siden er endnu ikke blevet gennemgået af erfarne bidragydere og kan afvige væsentligt fra den version , der blev gennemgået den 24. marts 2022; verifikation kræver 1 redigering .

Tarskis aksiomatik er et system af aksiomer for elementær euklidisk geometri foreslået af Alfred Tarski . Bemærkelsesværdigt ved, at det er formuleret i førsteordens logik med lighed og ikke kræver mængdeteori .

Historie

Alfred Tarski arbejdede med mellemrum på sin aksiomatisering fra 1926 til sin død i 1983; udgivet første gang i 1959. [1] Især Tarski beviste, at hans aksiomatik er komplet og konsistent; Desuden er der en algoritme, der giver dig mulighed for at finde ud af, om et udsagn er sandt eller falsk. (Denne sætning er ikke i modstrid med Gödels ufuldstændighedssætning , da der ikke er nogen måde at udtrykke aritmetik på i Tarskis aksiomatik for geometri.)

Tarskis og hans elevers hovedværker i denne retning præsenteres i en monografi fra 1983. [2] Aksiomatisk præsenteret i denne bog består af 10 aksiomer og et aksiomskema .

Aksiomer

Udefinerede begreber

Lie Between er en ternær relation Bxyz , hvilket betyder at y "ligger mellem" x og z . Med andre ord, at y er et punkt på xz . (I dette tilfælde er enderne inkluderet, det vil sige, som det vil følge af aksiomerne, er Bxxz sand).

Kongruens er en tetrad-relation wx ≡ yz , hvilket betyder, at segmentet wx er kongruent med segmentet yz ; med andre ord, at længden af wx er lig med længden af yz .

Aksiomer

Refleksivitet af kongruens: $xy\equiv yx\,.$

Kongruens identitet: $xy\equiv zz\rightarrow x=y.$

Transitivitet af kongruens: $(xy\equiv zu\land xy\equiv vw)\rightarrow zu\equiv vw.$

Identitetsrelationen ligger mellem: $Bxyx\rightarrow x=y.$

Det vil sige, at det eneste punkt på linjestykket er selve punktet .

xx

x

Axiom Pasha : $(Bxuz\land Byvz)\rightarrow \exists a\,(Buay\land Bvax).$

To diagonaler af en konveks firkant skal skære hinanden på et tidspunkt.

xuvy

Skema med kontinuitetsaksiomer. Lad og være førsteordensformler uden frie variable a eller b . Lad heller ikke være frie variabler i eller i . Så er alle udtryk af følgende type aksiomer: $\phi(x)$ $\psi (y)$ $x$ $\psi (y)$ $y$ $\phi(x)$ $\exists a\,\forall x\,\forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Baxy]\rightarrow \exists b\,\forall x\,\ forall y\,[(\phi (x)\land \psi (y))\rightarrow Bxby].$

Det vil sige, at hvis og beskriver to sæt punkter af strålen med toppunkt a , hvoraf det første er til venstre for det andet, så er der et punkt b mellem disse sæt.

\phi(x)

\psi (y)

Nedre dimensionsgrænse : $\exists a\,\exists b\,\exists c\,[\neg Babc\land \neg Bbca\land \neg Bcab].$

Det vil sige, at der er tre ikke-kollineære punkter. Uden dette aksiom kan teorier modelleres med en endimensionel reel linje, et enkelt punkt eller endda et tomt sæt .

Øvre dimensionsgrænse : $(xu\equiv xv\land yu\equiv yv\land zu\equiv zv\land u\neq v)\rightarrow (Bxyz\lor Byzx\lor Bzxy).$

Det vil sige, at alle tre punkter, der er lige langt fra to forskellige punkter, ligger på en linje. Uden dette aksiom kan teorien modelleres i multidimensionelt (herunder tredimensionelt ) rum.

Aksiom om det femte segment: ${(x\neq y\land Bxyz\land Bx'y'z'\land xy\equiv x'y'\land yz\equiv y'z'\land xu\equiv x'u'\land yu \equiv y'u')}\rightarrow zu\equiv z'u'.$

Det vil sige, at hvis segmenterne af 4 markerede par i de to tegninger til højre er ens, så er segmenterne i det femte par lig med hinanden.

Opbygning af et segment: $\exists z\,[Bxyz\land yz\equiv ab].$

Det vil sige, fra ethvert punkt i enhver retning kan du udskyde et segment af en given længde.

Noter

↑ Tarski, Alfred (1959), Hvad er elementær geometri?, i Leon Henkin, Patrick Suppes og Alfred Tarski, Den aksiomatiske metode. Med særlig reference til geometri og fysik. Proceedings af et internationalt symposium afholdt på Univ. of Californien, Berkeley, dec. 26, 1957-jan. 4, 1958 , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics, Amsterdam: North-Holland, s. 16–29 .
↑ Schwabhäuser, W., Szmielew, W., Alfred Tarski, 1983. Metamathematische Methoden in der Geometrie . Springer-Verlag.

Tarskis aksiomatik (geometri)

Historie

Aksiomer

Noter

Links