Aksiomskemaet er en generalisering af begrebet et aksiom .
Et aksiomskema er en formel i et aksiomatisk skemas metasprog , hvor en eller flere variable optræder. Disse variabler, som er metalingvistiske konstruktioner, betegner ethvert led eller underformel af et system, som måske eller måske ikke kræves for at opfylde visse betingelser. Ofte kræver sådanne forhold, at visse variable er frie variable, eller at visse variable ikke optræder i en underformel eller et led.
I betragtning af at antallet af mulige underformler eller termer, der kan indsættes i stedet for en skemavariabel, er tælleligt uendeligt, betyder et aksiomskema et tælleligt uendeligt sæt af aksiomer. Dette sæt kan normalt defineres rekursivt . En teori, der kan aksiomatiseres uden skemaer, kaldes en endelig aksiomatisering . Teorier, der naturligvis kan aksiomatiseres, ses som metamatisk mere elegante, selvom de er mindre praktiske til deduktivt arbejde.
To meget berømte tilfælde af aksiomskemaer er:
Cheslav Ryl-Nardzewski [1] beviste, at Peano-aritmetik ikke kan aksiomatiseres endeligt, og Richard Montagu beviste, at Zermelo-Fraenkel-systemet ikke kan aksiomatiseres endeligt. [2] Derfor kan aksiomskemaer ikke udelukkes fra disse teorier. Det gælder også en række andre aksiomatiske teorier inden for matematik, filosofi, lingvistik mv.
Alle sætninger i Zermelo-Fraenkel-systemet er også sætninger fra von Neumann-Bernays-Gödel mængdelære , men sidstnævnte kan aksiomatiseres endeligt.