Abstrakt cellekompleks

Et abstrakt cellekompleks er et sæt med Aleksandrov-topologien , hvor et ikke-negativt heltal, kaldet dimensionen, er tildelt hvert punkt. Konceptet bruges i digital topologi til analyse af todimensionelle og tredimensionelle digitale billeder . Komplekset kaldes "abstrakt", fordi dets punkter, kaldet "celler", ikke er delmængder af et Hausdorff-rum , som det kræves for cellekomplekser, der bruges i algebraisk topologi og homotopi-teori .

Historie

Lignende konstruktioner med et lignende generalitetsniveau blev overvejet af Listing (1862) [1] , Steinitz (1908) [2] , Tucker (1933) [3] , Reidemeister (1938) [4] .

Steinitz definerede et abstrakt cellulært kompleks som et tredobbelt , hvor er et vilkårligt sæt, er en antisymmetrisk , irrefleksiv og transitiv binær begrænsningsrelation mellem elementerne i sættet , og er en funktion, der tildeler et ikke-negativt tal til hvert element fra i en sådan en måde, at hvis , så er følgende sandt: . "Cellekomplekset" i Whiteheads (1939) definition kræver rumadskillelse og homeomorfi af celler til en euklidisk enhedsterning af den passende dimension [5] , yderligere ved at bruge denne konstruktion til at definere et CW-kompleks [6] . Aleksandrov stillede i sin bog "Combinatorial Topology" (1941, den første udgave blev udgivet i 1947 [7] ), der definerede et "cellekompleks", kravene til tilstedeværelsen af en modsat celle i komplekset og sikkerheden for incidenskoefficienten mellem hvert par af celler med nabodimensioner (hvorved det bringes så tæt som muligt på det simple kompleks ). $C=(E,B,dim)$ $E$ $B$ $E$ $dim:E\to \mathbb {N}$ $E$ $B(a,b)$ $dim(a)<dim(b)$

Siden 1989 er abstrakte komplekser i definitionen af Steinitz blevet brugt til forskning i problemerne med computerbilledanalyse [8] [9] [10] .

Egenskaber

Topologien af abstrakte komplekser er baseret på en delvis rækkefølge på sættet af dets punkter eller celler. I modsætning til et forenklet kompleks er elementerne i et abstrakt kompleks ikke forenklinger , især et dimensionelt element i et abstrakt kompleks har ikke nødvendigvis nuldimensionelle sider, og ikke hver delmængde af sættet af nuldimensionelle sider er en celle . På grund af dette kan konceptet med et abstrakt cellekompleks anvendes på to- og tredimensionelle gitter, der er meget udbredt i billedbehandling , mens dette ikke er muligt for et simpelt kompleks. Det er muligt at indføre koordinater i et abstrakt kompleks, fordi der er ikke-simple komplekser, der er kartesiske produkter af sådanne "lineært" forbundne endimensionelle komplekser, hvor hver (undtagen to) nuldimensionelle celle afgrænser nøjagtigt to endimensionelle celler . Kun kartesiske komplekser giver dig mulighed for at indtaste sådanne koordinater, at hver celle har et sæt koordinater, og to forskellige celler altid har forskellige sæt koordinater. Et sæt koordinater kan tjene som et "navn" (identifikator) på en celle, hvilket er vigtigt for behandling af komplekser. Abstrakte komplekser gør det også muligt at introducere den klassiske topologi (Aleksandrovs topologi) i gitter, som tjener som grundlag for billedbehandling, på grund af hvilke det bliver muligt at give præcise definitioner af de topologiske begreber om forbindelse og delmængdegrænse. Dimensionen af celler defineres i det generelle tilfælde anderledes end i simple komplekser. $n$ $n+1$

Den største forskel fra de cellulære komplekser, der bruges i algebraisk topologi, er, at det abstrakte kompleks ikke stiller krav til rummets adskillelighed . Dette er vigtigt for at arbejde med en computer, der ikke kan præsenteres med ikke- diskrete adskillelige mellemrum.

Noter

↑ Liste J.: "Der Census räumlicher Complexe". Abhandlungen der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, bind 10, Göttingen, 1862, s. 97-182.
↑ Steinitz E.: "Beitraege zur Analysis". Sitzungsbericht Berliner Mathematischen Gesellschaft, bind 7, 1908, s. 29-49.
↑ Tucker AW: "An abstract approach to manifolds", Annals Mathematics, v. 34, 1933, s. 191-243.
↑ Reidemeister K.: "Topologie der Polyeder und kombinatorische Topologie der Komplexe". Akademische Verlagsgesellschaft Geest & Portig, Leipzig, 1938 (2. udgave 1953)
↑ Cellekompleks - artikel fra Encyclopedia of Mathematics . D. O. Baladze
↑ Efterfølgende, i algebraisk topologi, begyndte "cellekomplekser" at blive kaldt CW-komplekser
↑ Alexandrov P. S. Kombinatorisk topologi. GITTL, 1947
↑ Kovalevsky V.: "Finite Topology as Applied to Image Analysis", Computer Vision, Graphics and Image Processing, v. 45, nr. 2, 1989, s. 141-161.
↑ V. Kovalevski. Digital topologi med anvendelser af cellekomplekser til billedanalyser Arkiveret 9. marts 2022 på Wayback Machine
↑ Klette R. og Rosenfeld. A.: "Digital Geometry", Elsevier, 2004.