Dzhanibekov effekt

Den mellemliggende akse- sætning eller tennisketcher-sætningen i klassisk mekanik er et udsagn om ustabiliteten af rotationen af et stivt legeme i forhold til den anden hovedinertiakse. Det er en konsekvens af den klassiske mekaniks love , der beskriver bevægelsen af et stift legeme med tre forskellige hovedinertimomenter . Manifestationen af teoremet under rotationen af en sådan krop i vægtløshed kaldes ofte Dzhanibekov-effekten til ære for den sovjetiske kosmonaut Vladimir Dzhanibekov , som bemærkede dette fænomen den 25. juni 1985 under missionen for at redde rumstationen Salyut-7 [ 1] . En artikel, der forklarer denne observation, blev offentliggjort i 1991 [2] . Samtidig har selve sætningen om rotationens ustabilitet omkring en mellemliggende inertiakse været kendt i lang tid og er bevist i ethvert kursus i klassisk mekanik [3] . Ustabiliteten af en sådan rotation vises ofte i forelæsningsforsøg. Rotationens ustabilitet omkring den mellemliggende (midterste) inertiakse og stabiliteten af rotationen omkring de to andre akser blev først opdaget af den franske mekaniker Louis Poinsot i 1834 og offentliggjort i hans afhandling New Theory of Rotation of Bodies [ 4] [5 ] ] .

Sætningen beskriver følgende effekt: rotationen af et objekt om hovedakserne med det største og mindste inertimoment er stabilt, mens rotationen omkring hovedaksen med et mellemliggende inertimoment (deraf navnet mellemaksesætning ) ikke er . Dzhanibekov så dette med en vingemøtrik : drejede den i nul tyngdekraft fra en lang hårnål , lagde han mærke til, at den flyver lidt, drejer 180 °, så, efter at have fløjet lidt mere, vender den igen.

På Jorden kan denne effekt ses i følgende eksperiment: Tag en tennisketcher ved håndtaget og prøv at kaste den op i luften, så den fuldender en fuldstændig omdrejning omkring en akse, der passerer i ketcherens plan vinkelret på håndtaget, og fange den i håndtaget. I næsten alle tilfælde vil ketcheren lave en halv omgang langs længdeaksen og vil "se" på dig med den anden side. Hvis du kaster ketsjeren og drejer den langs andre akser, så vil ketcheren bevare sin orientering efter en hel omgang.

Eksperimentet kan udføres med ethvert objekt, der har tre forskellige inertimomenter, såsom en bog eller en fjernbetjening. Effekten opstår, når rotationsaksen er lidt forskellig fra emnets anden hovedakse; luftmodstand eller tyngdekraft kan negligeres [6] .

Det er stadig forkert at kalde rotationer omkring akser med et maksimalt og minimum inertimoment stabilt, givet reelle fysiske legemer. Hvis der er nogen kræfter, der er i stand til at sprede rotationsenergien, såsom tidevandskræfter, vil kroppen til sidst kun rotere rundt om aksen med det maksimale inertimoment. Sådan roterer alle asteroider og planeter, inklusive Jorden. Derfor er spekulationer om en mulig rotation af Jordens rotationsakse ubegrundede.

Matematisk begrundelse

Mellemaksesætningen kan analyseres ved hjælp af Euler-ligningerne .

Når de roteres frit, har de følgende form:

{\begin{aligned}I_{1}{\dot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})\omega _{2}\omega _{3} ,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(1)}}\\I_{2}{\dot {\omega }}_{2}&= ( I_{3}-I_{1})\omega _{3}\omega _{1},~~~~~~~~~~~~~~~~~~~{\text{(2)} }\\I_{3}{\dot {\omega }}_{3}&=(I_{1}-I_{2})\omega _{1}\omega _{2}.~~~ ~~ ~~~~~~~~~~~~~~~{\tekst{(3)))\end{aligned))

Her betegner de vigtigste inertimomenter, og vi antager, at vinkelhastighederne for rotation omkring de tre hovedakser - deres afledte i forhold til tid - ${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3))$ $I_{1}>I_{2}>I_{3}.$ $\omega _{1},\omega _{2},\omega _{3},$ ${\dot {\omega }}_{1},{\dot {\omega}}_{2},{\dot {\omega}}_{3}.$

Overvej situationen, når et objekt roterer rundt om en akse med et inertimoment . For at bestemme ligevægtens natur, antager vi, at der er to små begyndelsesvinkelhastigheder langs de to andre akser. Som følge heraf er den ifølge ligning (1) meget lille. Derfor kan tidsafhængigheden negligeres. $I_{1}.$ ${\dot {\omega }}_{1}$ $\omega_{1}$

Nu differentierer vi ligning (2) med hensyn til tid og erstatter fra ligning (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{2}I_{3}{\ddot {\omega }}_{2}&=(I_{3}-I_{1})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{1}^{2}\omega _{2}.\\\end{aligned}}

Bemærk, at fortegnene for y og er forskellige, da multiplikatoren er negativ, mens multiplikatorerne og er positive. Derfor vil den oprindelige lave hastighed forblive lille i fremtiden. Ved at differentiere ligning (3) kan man også bevise stabilitet med hensyn til forstyrrelser Da både hastigheder og forbliver små, følger det af (1) at og forbliver lille . Derfor sker rotation omkring akse 1 med konstant hastighed. $\omega _{2}$ ${\ddot {\omega }}_{2}$ $(I_{3}-I_{1})$ $(I_{1}-I_{2})$ ${\displaystyle \omega _{1}^{2))$ $\omega _{2}$ $\omega _{3}.$ $\omega _{2}$ $\Omega 3}$ ${\dot {\omega }}_{1}$

Lignende ræsonnement viser, at rotation om en akse med inertimoment også er stabil. $I_3$

Nu anvender vi disse overvejelser til tilfældet med rotation om en akse med et inertimoment . Meget lille denne gang . Derfor kan tidsafhængigheden negligeres. $I_{2}$ ${\dot {\omega }}_{2}$ $\omega _{2}$

Nu differentierer vi ligning (1) med hensyn til tid og erstatter fra ligning (3): ${\dot {\omega }}_{3}$

{\begin{aligned}I_{1}I_{3}{\ddot {\omega }}_{1}&=(I_{2}-I_{3})(I_{1}-I_{ 2})\omega _{2}^{2}\omega _{1}.\\\end{aligned}}

Bemærk, at tegnene på y og er de samme, da alle tre faktorer og er positive. Følgelig vil den oprindeligt lave hastighed stige eksponentielt, indtil den holder op med at være lille, og arten af rotationen omkring akse 2 ændres ikke. Selv små forstyrrelser langs andre akser får således objektet til at "vende". $\omega_{1}$ ${\ddot {\omega }}_{1}$ $(I_{2}-I_{3}),$ $(I_{1}-I_{2})$ $\omega _{2}^{2}$ $\omega_{1}$ ${\dot {\omega }}_{2}$

Se også

Noter

↑ Dzhanibekov-effekten - CNews-fora (utilgængeligt link) . live.cnews.ru. Hentet 26. marts 2016. Arkiveret fra originalen 16. august 2016. (ubestemt)
↑ Mark S. Ashbaugh, Carmen C. Chicone, Richard H. Cushman. The Twisting Tennis Racket (neopr.) // Journal of Dynamics and Differential Equations. - 1991. - V. 3 , nr. 1 . - S. 67-85 . - doi : 10.1007/BF01049489 .
↑ Se for eksempel: Sivukhin D.V. § 53, Tensor og inerti-ellipsoide; § 54, Rotation af et stivt legeme ved inerti omkring et fast punkt // Fysik generelt forløb. - M . : Science , 1979. - T. I. Mechanics. - S. 297-300 . - 520 sek.
↑ Poinsot L. Theórie nouvelle de la rotations des corps : Extrait d'un Mémoire lu à l'Académie des Sciences de l'Institut, le 19 mai 1834 (fr.) . - Paris: Bachelier, 1834. - S. 47-51. — 56 s.
↑ Poinsot L. Outlines of a New Theory of Rotatory Motion (engelsk) / trans. fra fr. på engelsk: Ch. Whitley. - Cambridge: Pitt Press, 1834. - S. 63-68. - iv + 96 s. :
Hvis den øjeblikkelige rotationspol falder sammen med den større eller mindre pol af ellipsoiden [af inerti] og under påvirkning af impulsen fra et lille forstyrrende par [kræfter] afviger en lille afstand fra den, så vil den ikke bevæge sig længere, men vil beskrive dens poloid omkring netop denne pol af ellipsoiden. Men det sker anderledes, når den øjeblikkelige pol falder sammen med ellipsoidens gennemsnitspol ; for ved enhver mindste forskydning vil den bevæge sig længere og længere væk og fortsætte med at beskrive sin poloid omkring en større eller mindre pol, afhængig af om denne tilfældige forstyrrelse er rettet mod at øge eller formindske afstanden af parrets tangentplan fra midten af ellipsoiden. Hvis forstyrrelsen er sådan, at denne afstand ikke ændres, hvilket sker i retning af to bestemte ellipser, der skærer hinanden ved midterpolen, så vil den øjeblikkelige pol beskrive den ellipse, langs hvilken den begyndte at bevæge sig, eller rettere halvdelen af denne ellipse, indtil den når den modsatte midterpol, som er den største forstyrrelse, som et legeme kan opleve; i mellemtiden, hvis bevægelsen af polen blev startet langs den anden halvdel af denne ellipse, ville den straks vende tilbage til den samme midterste pol, hvilket er den mindst mulige forstyrrelse. Derfor er der det eneste tilfælde, hvor den øjeblikkelige akse, afsat fra den midterste akse, som den faldt sammen med i begyndelsen, ikke blot ikke bevæger sig længere væk fra den, men endda vender tilbage til den med det samme, indtil dens afstand bliver mindre end nogen givet værdi. Men i alle andre tilfælde begynder den at beskrive en elliptisk kegle rundt om hoved- eller lilleaksen eller følger planet for den ene eller anden ellipse, som jeg har nævnt; og vi kan sige, at rotationsbevægelsen omkring midteraksen ikke har nogen stabilitet.
↑ Mark Levy. 6. Tennisketcher-paradokset // Klassisk mekanik med variationsregning og optimal kontrol: en intuitiv introduktion. - American Mathematical Society, 2014. - S. 151-152.

Dzhanibekov effekt

Matematisk begrundelse

Se også

Noter

Links