Endomorfisme

Endomorfisme er en morfisme af et kategoriobjekt i sig selv; i sammenhæng med universel algebra er det en homomorfi , der kortlægger et algebraisk system i sig selv.

I enhver kategori er sammensætningen af to endomorfismer også en endomorfi, sammensætningen er associativ, og der er en identisk endomorfi. Det følger heraf, at alle endomorfier for et objekt danner en monoid , som er betegnet (eller for at understrege kategorien ). $x$ $x$ $\operatørnavn {End}(X)$ $\operatørnavn {End}_{C}(X)$ $C$

En reversibel endomorfisme (der har egenskaberne som en isomorfisme ) kaldes en automorfi . Sættet af automorfismer er en delmængde med en naturlig gruppestruktur og er betegnet med . $\operatørnavn {End}(X)$ $\operatørnavn {Aut}(X)$

Enhver to endomorfismer af en abelsk gruppe kan tilføjes i henhold til reglen . Med addition defineret på denne måde danner endomorfismerne af enhver abelsk gruppe en ring kaldet endomorphismringen . For eksempel er endomorfismer af en fri abelsk gruppe ringen af alle matricer med heltalskoefficienter. Endomorfismer af et vektorrum eller -modul danner også en ring, ligesom endomorfismer af ethvert objekt i en præadditiv kategori . Endomorfier af en kommutativ monoid danner en semiring , mens endomorfismer af en ikke-kommutativ gruppe danner en struktur kendt som en nærring . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\ gange n$

Litteratur

Nathan Jacobson . Grundlæggende algebra (ubestemt) . — 2. - Dover, 2009. - Vol. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Kategorier for den arbejdende matematiker / Pr. fra engelsk. udg. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 s. — ISBN 5-9221-0400-4 .