Elementære matrix transformationer |
---|
Elementære matrixtransformationer er de matrixtransformationer , der bevarer ækvivalensen af matricer. Elementære transformationer ændrer således ikke løsningssættet af systemet af lineære algebraiske ligninger , som denne matrix repræsenterer.
Elementære transformationer bruges i Gauss-metoden til at reducere en matrix til en trekantet eller trinformet form .
Elementære strengtransformationer kaldes:
I nogle lineære algebrakurser skelnes permutationen af matrixrækker ikke som en separat elementær transformation på grund af det faktum, at permutationen af to matrixrækker kan opnås ved at gange en hvilken som helst række i matrixen med en konstant og lægge til en hvilken som helst række. af matricen en anden række ganget med konstanten .
Elementære kolonnetransformationer er defineret på samme måde .
Elementære transformationer er reversible .
Betegnelsen angiver, at matrixen kan opnås ved elementære transformationer (eller omvendt).
Sætning (om ranginvarians under elementære transformationer). Hvis , så . |
Sætning (om ækvivalens af ligningssystemer under elementære transformationer). Systemet af lineære algebraiske ligninger opnået ved elementære transformationer over det oprindelige system svarer til det. |
Sætning (om at finde den inverse matrix). Lad determinanten af matricen være ikke-nul, lad matrixen være defineret af udtrykket . Derefter, med en elementær transformation af rækkerne i matrixen til identitetsmatrixen i kompositionen , sker transformationen til samtidigt . |
Se artikel: Trinvis visning efter rækker
Lad os introducere begrebet trinmatricer: En matrix har en trinvis form, hvis:Sætning (om reduktion af matricer til en trinvis form). Enhver matrix ved elementære transformationer kun over rækker kan reduceres til en trinvis form. |
Elementær matrix. En matrix A er elementær, hvis multiplikation af en vilkårlig matrix B med den fører til elementære rækketransformationer i matrix B.