Eksponentiel visning

Eksponentiel kortlægning - langt[ klargør ] en løbende generalisering af den eksponentielle funktion i Riemannsk geometri .

For en Riemannmanifold virker den eksponentielle afbildning fra tangentbundtet til selve manifolden . $M$ $TM$ $M$

Den eksponentielle afbildning betegnes normalt, og dens begrænsning til tangentrummet i et punkt betegnes og kaldes den eksponentielle afbildning i et punkt . $\exp \colon TM\to M$ $T_{p}M$ $p\in M$ $\exp _{p}\colon T_{p}M\to M$ $s$

Definition

Lad være en Riemann-manifold og . For hver vektor er der en unik geodætisk udgående fra punktet (dvs. ), sådan at . $M$ $p\in M$ $v\in T_{p}M$ $\gamma _{v}(t)$ $s$ $\gamma _{v}(0)=p$ $\gamma _{v}'(0)=v$

Den eksponentielle afbildning af en vektor er punktet eller . $v$ $\gamma _{v}(1)\in M$ $\exp v=\gamma _{v}(1)$

Egenskaber

$\exp _{p}(0)=p$ .

For hvert punkt findes der et tal , således at den eksponentielle afbildning er defineret for alle vektorer , der opfylder betingelsen . $p\in M$ $\varepsilon >0$ $\exp _{p}$ $v\in T_{p}M$ $|v|\leq \varepsilon$
- Desuden er en diffeomorfisme af et eller andet kvarter af nul i tangentrummet til et kvarter af et punkt i manifolden . I et bestemt kvarter af et manifoldpunkt defineres således en invers eksponentiel afbildning (kaldet logaritmen og betegnet med ), som virker i et bestemt kvarter af tangentrummets nul . $\exp _{p}$ $T_{p}M$ $s$ $M$ $s$ $M$ $\log _{p}$ $T_{p}M$

I en metrisk komplet Riemannmanifold defineres et eksponentielt kort for enhver tangentvektor ( Hopf-Rinow-sætning ).

Differentialet for den eksponentielle afbildning på ethvert punkt er den lineære identitetsoperator . Det er $s$ $(d_{p}\exp _{p})(v)=v$

for enhver . Her identificerer vi rummet, der tangerer med sig selv.

v\in T_{p}M

T_{p}M

( Gauss' lemma om geodætik ) For evt $x,v\in T_{p}$ $g((d_{x}\exp _{p})(v),(d_{x}\exp _{p})(x))=\langle v,x\rangle ,$

hvor angiver differentialet for den eksponentielle afbildning.

{\displaystyle d_{x}\exp _{p}\colon T_{p}=T_{x}T_{p}\to T_{\exp _{p}x))

For Lie-grupper med en bi-invariant metrik falder den eksponentielle mapping sammen med den sædvanlige gruppeteoretiske eksponentiel.

Litteratur

B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko moderne geometri. - Enhver udgave.
A. S. Mishchenko, A. T. Fomenko . Kursus i differentialgeometri og topologi. - Enhver udgave.
M. M. Postnikov . Variationsteori for geodætik. - Enhver udgave.

Eksponentiel visning

Definition

Egenskaber

Links

Litteratur