Udstiller Artin - Hasse

I matematik er Artin-Hasse-eksponenten , opkaldt efter Emil Artin og Helmut Hasse , en potensrække af formen

Motivation

I modsætning til den almindelige eksponent er koefficienterne for Artin-Hasse eksponentudvidelsen p -heltal, med andre ord er deres nævnere ikke delelige med p . Dette følger af Dworks Lemma (Dwork), som siger, at en potensrække f ( x ) = 1 + … med rationelle koefficienter har p -heltalskoefficienter, hvis og kun hvis f ( x p )/ f ( x ) p ≡ 1 mod p .

Brug af Möbius-inversionen kan omskrives som et uendeligt produkt

Her er μ Möbius-funktionen .

Kombinatorisk fortolkning

Artin-Hasse-eksponenten er den genererende funktion af sandsynligheden for, at et tilfældigt valgt element af S n ( en symmetrisk gruppe med n elementer) har rækkefølgen af ​​potensen p (dette tal er angivet som t n ):

Bemærk, at dette giver endnu et bevis på koefficienternes p -integritet, da i en endelig gruppe med rækkefølge deleligt med d , er antallet af elementer med rækkefølge deleligt med d også deleligt med d .

David Roberts viste et naturligt kombinatorisk forhold mellem Artin-Hasse-eksponenten og den almindelige eksponent i lyset af ergodisk teori, hvilket beviste, at Artin-Hasse-eksponenten er en genererende funktion af sandsynligheden for unipotens af et symmetrisk gruppeelement i karakteristisk p . Normaleksponenten giver sandsynligheden for, at et element er unipotent i samme gruppe i karakteristika 0.

Hypoteser

I et PROMYS- kursus fra 2002 formodede Keith Conrad , at koefficienterne er ensartet fordelt i p-adiske tal med hensyn til det normaliserede Haar-mål, da dette er i overensstemmelse med hans beregninger. Denne hypotese forbliver åben.

Dinesh Thakur stillede problemet med, om Artin-Hasse-eksponenten er transcendental over .

Forskellige relativt simple egenskaber ved funktionen er også udefinerede, herunder spørgsmålet om, hvorvidt den funktionelle lighed sandt for den almindelige eksponent gælder .

Se også

Links