Lefschetz nummer

Lefschetz nummer
Opkaldt efter	Solomon Lefschetz
Hvem beviste	Solomon Lefschetz

Lefschetz-tallet er en bestemt heltalskarakteristik for kortlægningen af et topologisk rum i sig selv.

Definition

Lad være et topologisk rum, være et kontinuerligt kort , og være homologigrupper med koefficienter i feltet . Lad være sporet af en lineær transformation $x$ $f:X\til X$ $H_{*}(X, k)$ $x$ $k$ $t_{n}$

f_{*}:H_{n}(X,k)\til H_{n}(X,k)

Per definition er Lefschetz-nummeret for en kortlægning $f$

{\displaystyle \Lambda (f,X)=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}t_{n))

Egenskaber

Lefschetz-tallet er defineret, hvis den samlede rang af grupperne er endelig, og i dette tilfælde ikke afhænger af valget af . $H_{*}(X, k)$ $k$

Lefschetz-nummeret for identitetskortlægningen er lig med Euler-karakteristikken . $x$

Lefschetz formel

Lade være en forbundet orienterbar -dimensional kompakt topologisk manifold eller -dimensional finite celle kompleks , være en kontinuerlig kortlægning. $x$ $n$ $n$ $f:X\til X$

Antag, at alle faste punkter i kortlægningen er isolerede. $f:X\til X$

For hvert fast punkt angiver vi med dets Kronecker-indeks (den lokale grad af kortlægning i nærheden af punktet ). Så har Lefschetz-formlen for og formen $x\i X$ $i(x)$ $f$ $x$ $x$ $f$

\sum _{{\{x|f(x)=x\}}}i(x)=\Lambda (f,X).

Især hvis en kortlægning af et endeligt cellekompleks ikke har nogen fikspunkter, så er dets Lefschetz-tal lig med nul.

Historie

Denne formel blev først etableret af Lefschetz for finit-dimensionale orienterbare topologiske manifolder og senere for finite cellekomplekser. Disse papirer af Lefschetz blev forudgået af Brouwers papir fra 1911 om det faste punkt for en kontinuerlig kortlægning af en dimensionel sfære i sig selv. $n$

Noter

I bibliografiske kataloger	GND : 4501113-8