4D topologi

Firedimensionel topologi er en gren af topologi, der studerer topologiske og glatte firedimensionelle manifolder .

4-dimensionelle mangfoldigheder optræder i generel relativitetsteori som rumtid .

Særlige egenskaber

I dimension 4 er teorien om topologiske og glatte manifolds meget forskellig fra dem med lavere og højere dimensioner.

I alle dimensioner undtagen 4 giver nulstilling af Kirby-Siebenmann-klassen en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for eksistensen af en stykkevis lineær struktur.
I alle dimensioner undtagen 4 har en kompakt topologisk manifold kun et begrænset antal forskellige stykkevis lineære og glatte strukturer. I dimension 4 kan deres antal tælles.
I alle dimensioner undtagen 4 har det euklidiske rum ingen eksotiske glatte strukturer. I dimension 4 er der et utal af dem.
Løsningen af den glatte Poincare-formodning er kendt i alle dimensioner undtagen 4 (som regel er det ikke sandt i dimensioner, der starter fra 7).
- Poincaré-formodningen for stykkevis lineære manifold er også løst for alle dimensioner undtagen 4.
Den glatte h-kobordisme-sætning er sand, forudsat at hverken manifolden eller dens grænse er af dimension 4. Det er ikke sandt, hvis grænsen er af dimension 4 (som vist af Donaldson ), og det er uvist, om det er sandt, hvis dimensionen af selve kobordismen er 4.
Whitneys trick virker ikke i dimension 4.

Klassifikation

Topologisk

Homotopitypen af en enkelt tilsluttet kompakt 4-manifold afhænger kun af dens skæringsform .

Ved Friedmanns sætning klassificeres manifolder af denne type op til homeomorphism ved en skæringsform og en Z /2 Z -invariant, den såkaldte Kirby-Siebenmann klasse .
- Desuden kan enhver kombination af en unimodulær form og en Kirby-Siebenmann-klasse opstå, undtagen når formen er lige, i hvilket tilfælde Kirby-Siebenmann-klassen skal være lig med , hvor angiver signaturen af skæringsformen. $\tau /8{\pmod {2}}$ $\tau$

Eksempler:

I det særlige tilfælde, hvor formen er 0, giver sætningen et 4-dimensionelt tilfælde af den topologiske Poincaré-formodning .
Hvis formen er lig med E 8 , opnås den såkaldte E8-manifold . Denne manifold tillader ikke triangulering.
For formen Z er der to varianter afhængigt af Kirby-Siebenmann-klassen: et 2-dimensionelt komplekst projektivt rum og et falsk projektivt rum (af samme homotopi-type, men ikke homøomorft til det).
Når rangordenen er større end 28, begynder antallet af positiv-definite unimodulære former at vokse ekstremt hurtigt. Derfor vises et stort antal tilsvarende simpelt forbundne topologiske 4-manifolds.

Friedmans klassifikation kan udvides i nogle tilfælde, hvor den fundamentale gruppe ikke er for kompliceret. For eksempel, hvis det er isomorf til Z , så er der en klassifikation ved hjælp af hermitiske former over grupperingen af gruppen Z. Ved for store fundamentale grupper (f.eks. en fri gruppe med 2 generatorer) er Friedmanns metode ikke anvendelig, og man ved meget lidt om sådanne varianter.

For enhver endeligt given gruppe eksisterer der en glat kompakt 4-dimensionel manifold, hvis grundlæggende gruppe er isomorf for denne gruppe. Da der ikke er nogen algoritme til at bestemme, om to givne grupper er isomorfe, er der ingen algoritme til at bestemme, hvornår to varianter har isomorfe fundamentale grupper. Dette er en af grundene til, at meget af arbejdet med 4-manifolds omhandler den enkelt forbundne sag: mange problemer er kendt for at være uløselige i det generelle tilfælde.

Glat

For en manifold med dimensioner på højst 6 kan enhver stykkevis lineær struktur udglattes på en unik måde. [1] Især afviger klassificeringen af 4-dimensionelle stykkevis lineære manifolds ikke fra teorien om 4-dimensionelle glatte manifolds.

Da den topologiske klassifikation er kendt, reduceres klassificeringen af enkelt forbundne kompakte glatte 4-manifolds til to spørgsmål:

Hvilke topologiske manifolder kan udjævnes?
Hvordan klassificeres glatte strukturer på glatte manifolds?

Det første spørgsmål har et næsten fuldstændigt svar. For det første skal Kirby-Siebenmann-klassen annulleres, og for det andet:

Hvis skæringsformen er fortegnsbestemt, giver Donaldsons sætning et fuldstændigt svar: en glat struktur eksisterer, hvis og kun hvis formen er diagonaliserbar.
Hvis formen ikke er tegnbestemt og ulige, så eksisterer der en glat struktur.
Hvis formen er ubestemt og jævn, kan vi antage, at den har en ikke-positiv signatur (ellers ændres orienteringen). I dette tilfælde afhænger svaret af formularens dimension og dens signatur . $d$ $\tau$
- Hvis , så eksisterer en glat struktur; det er givet ved at tage den forbundne sum af flere kopier af K3 overflader og . $8d\geqslant 11\tau$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{2}\times \mathbb {S} ^{2))$
- Hvis , så ved Furuta-sætningen, eksisterer en glat struktur ikke. $8d\leqslant 10\tau$
- I det resterende hul, mellem 10/8 og 11/8, er svaret stort set ukendt. Den såkaldte "11/8-hypotese" siger, at der ikke er nogen glat struktur, hvis dimensionen/|signaturen| mindre end 11/8.

På nuværende tidspunkt er der ikke en eneste udjævnet manifold kendt, for hvilken svaret på det andet spørgsmål ville være kendt. I øjeblikket er der ingen plausibel hypotese om, hvordan denne klassifikation kan se ud.

Donaldson viste, at der på nogle enkelt forbundne kompakte 4-manifolds, såsom Dolgachev-overflader , er et utalligt uendeligt antal distinkte glatte strukturer.

Der er et utal af forskellige glatte strukturer på R 4 .

Noter

↑ Milnor, John . Differentiel topologi seksogfyrre år senere // Notices of the American Mathematical Society . - 2011. - T. 58 , no. 6 . — S. 804–809 . MR : 2839925

Litteratur

Mandelbaum R. Firedimensionel topologi. — M .: Mir, 1981. — 286 s.