Heltalsgitter

Et n -dimensionelt heltalsgitter (eller kubisk gitter ), betegnet Zn , er et gitter i det euklidiske rum Rn , hvis punkter er n - tupler af heltal . Et todimensionelt heltalsgitter kaldes også et kvadratisk gitter . Z n er det enkleste eksempel på et rodgitter . Et heltalsgitter er et ulige unimodulært gitter .

Automorfi gruppe

Automorfigruppen (eller kongruensgruppen ) af et heltalsgitter består af alle permutationer og ændring af tegn på koordinater og har orden 2 n n !. Som en matrixgruppe , er denne gruppe givet af sættet af alle n × n fortegnede permutationsmatricer . Denne gruppe er isomorf i forhold til det semidirekte produkt

{\displaystyle (\mathbb {Z} _{2})^{n}\rgange S_{n))

hvor den symmetriske gruppe S n virker på ( Z 2 ) n ved permutation (dette er et klassisk eksempel på et kransprodukt af grupper ).

For et kvadratisk gitter er gruppen en gruppe af kvadrater eller en dihedral gruppe af orden 8. For et tredimensionelt kubisk gitter får vi en gruppe af terninger, en oktaedrisk gruppe af orden 48.

Diofantin geometri

Når man studerer diofantisk geometri, kaldes et kvadratisk gitter af punkter med heltalskoordinater ofte et diofantisk plan . I matematiske termer er det diofantiske plan det direkte produkt af ringen af alle heltal . Studiet af diofantiske figurer $\scriptstyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z}$ $\scriptstyle \mathbb {Z}$ fokuserer på at vælge noder i det diofantiske plan, således at alle parvise afstande mellem punkter er heltal.

Grov geometri

I grov geometri svarer et heltalsgitter nogenlunde til et euklidisk rum .

Se også

Almindelig gitter

Noter

Litteratur

Olds CD The Geometry of Numbers . - Mathematical Association of America, 2000. - ISBN 0-88385-643-3 .